Dérivabilité

Dans tout l’exercice, I désigne un intervalle, et a un point de I. I Généralités A) Définitions Soit , . On dit que f admet un développement limité (DL) à l’ordre n en a lorsqu’il existe des réels et une fonction qui tend vers 0 en a tels que : Autrement dit : Lorsqu’il existe tels que, au voisinage de a : Ou encore lorsqu’il existe tels que : au voisinage de 0. Ainsi, la notion de DL à l’ordre n en a pour revient à la notion de DL à l’ordre n en 0 pour . Exemples

Brevet de technicien supérieur novembre 2008 - groupement A Nouvelle-Calédonie Exercice 1 12 points π On désigne par α un nombre réel positif tel que 0 < α < . 2 On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 2π, telle que :   f (t ) f (t )  f (t ) = = = 1 0 −1 si si si 0 t α α < t < π−α π−α t π 1. Dans cette question, le nombre réel α vaut π . 3 Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−2π ; 2π]. +∞ n=1

METROPOLE Exercice 1 : (6 points) Juin 2010 Série S Page 1 sur 7 Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = e– x. 1. Montrer que la fonction u définie sur l'ensemble des nombres réels  par u(x) = xe– x est une solution de l'équation différentielle (E). 2. On considère l'équation différentielle (E') : y' + y = 0. Résoudre l'équation différentielle (E’). 3. Soit v une fonction définie

e fouCHAPITRE 3 SERIES DE F OURIER 3.1 Séries trigonométriques Définition 3.1.1 On appelle série trigonométrique réelle, toute série de fonctions de la forme : a0 + 2 ∞ an cos(nωx) + bn sin(nωx) n=1 (1) avec x ∈ R, ω > 0 , an , bn ∈ R, pour tout n dans N. Le problème est de déterminer l’ensemble ∆ tel que la série (1) soit convergente pour tout x ∈ ∆. Remarque 3.1.1 Supposons que la série (1) converge et posons a0 f (x) = + 2 ∞ an cos(nωx) + bn sin(nωx). n=1 Sachant que pour tous

DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES TS – Durée 3 h Exercice 1 : (5 points) Pour tous les candidats : Donner la bonne réponse aux questions suivantes en justifiant votre choix. Chaque réponse exacte rapporte 1,25 point si les justifications sont correctes, 0,25 sinon. Chaque réponse fausse enlève 0,25 point. L’absence de réponse à une question rapporte zéro point. Si par application de ce barème, le total des points est négatif, il est ramené à zéro. 1. Soit f une fonction définie sur l’intervalle[pic]

Baccalauréat C Liban juin 1978 E XERCICE 1 Dans cet exercice, pour noter les entiers, on utilise le système décimal. Soit E le sous-ensemble de N constitué des entiers n qui posséde les propriétés suivantes : – 4 divise n – n admet au moins dix diviseurs appartenant à N il existe un entier premier p tel que n = 37p + 1. 1. Quel est le plus petit élément de E ? 2. Existe-t-il un élément n, de E, vérifiant 26800 < n < 27800 ? 4 points → → − − Soit E un plan vectoriel euclidien rapporté à une base a

PROPRIÉTÉ f étant dérivable sur I, pour tout intervalle J inclus dans I : • Si f’(x) > 0, pour tout x de J, alors f est strictement croissante sur J. (Symbolisé par une flèche( dans le tableau de variations) • Si f’(x) < 0, pour tout x de J, alors f est strictement décroissante sur J. (Symbolisé par une flèche ( dans le tableau de variations) • Si f’(x) = 0, pour tout x de J, alors f est constante sur J. (Symbolisé par une flèche → dans le tableau de variations) Remarque : On utilise

Équations aux dérivées partielles Exercice 1845 Résoudre à l'aide des coordonnées polaires l'équation aux dérivées partielles : [pic] Exercice 1846 Résoudre l'équation des cordes vibrantes : [pic]à l'aide du changement de variables [pic]et [pic](on suppose que [pic]est [pic]). Exercice 1847 Résoudre l'équation aux dérivées partielles : [pic] en passant en coordonnées polaires. Exercice 1848 Résoudre en utilisant le changement de variable [pic]l'équation aux dérivées partielles suivante

La fonction exponentielle 1. Problème : Recherchons les fonctions f dérivables sur R, non nulles, et telles que pour tous x et y réels, on ait : f(x+y) = f(x) x f(y) [RF = Relation fonctionnelle] *Valeur de f(0) Posons x = 0. Alors [RF] => f(0+x) = f(0) x f(y) f(x) = f(y), d'où f(0) = 1 *Dérivée de f Soit un réel x fixé. Posons F1(y) = f(x+y) et F2(y) = f(x) x f(y) On a : F'1(y) = f' (x+y) x 1 et F'2(y) = f'(x) x f'(y) On doit donc avoir, pour

Chapitre : Calcul des intégrales Précédent : Calcul des primitives Suivant : Primitives des fractions rationnelles Techniques de calcul des primitives La première technique de calcul consiste à utiliser la linéarité pour séparer l'intégrale d'une somme en une somme d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes. On peut aussi intégrer des polynômes en et , ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle