Dérivabilité

Cours de mathématiques Terminale S1 Chapitre 12 : Calcul Intégral Année scolaire 2008-2009 mise à jour 5 mai 2009 Fig. 1 – Henri-Léon Lebesgue et Bernhard Riemann On les confond parfois 1 Table des matières I Chapitre 12 : Calcul Intégral I.A Intégrale d’une fonction continue positive . . . . . . . . . . . I.A.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.B Intégrale d’une fonction continue négative . . . . . . . . . . . I.B.1 Intégrale d’une fonction continue

Exercices - Calcul d’intégrales : indications Intégration par parties - Changements de variable Exercice 1 - Changements de variables - Niveau 1 - L1/Math Sup 1. Poser u = √ t. 2. Poser u = ex . Exercice 2 - Changements de variables - Niveau 2 - L1/Math Sup 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = et − 1. Exercice 3 - Changements de variables - Recherche de primitives - L1/Math Sup - 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = x. Exercice 4 - Intégration par parties - Niveau 1 - L1/Math Sup Exercice 5 - Intégration

TES AP n°12 : Corrigé Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l’effet de la pollution sur une population d’insectes car ils craignent l’extinction de cette espèce. L’étude a été effectuée sur un échantillon de 25 000 insectes. Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. Partie A : Une étude a permis de montrer que la population d’insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonction

Fiche BAC S 03 Term. S Théorème des valeurs Intermédiaires (th.v.i.) Exercice n°1. [RÉSOLU] On considère la fonction définie par : f (x)= x 3+ x 2 −5 x+4 1°) Calculer la dérivée de f ainsi que les limites aux bornes de Df. En déduire le le tableau de variation de f sur ℝ . 2°) Montrer que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α∈ℝ . 3°) Donner un encadrement puis une valeur approchée, arrondie à 10–2 près, de α . 4°) Déduire des résultats précédents le signe de f (x) sur ℝ ------------

Taux de variation (ou taux d’accroissement) : On appelle taux de variation de la fonction f entre a et b le nombre : t =f(b)-f(a)/b-a Géométriquement t est le coefficient directeur de la droite (AB) Si la variable est une durée, t est une vitesse moyenne Tangente : La tangente à la courbe au point A est la droite qui se rapproche le plus de la courbe ou « voisinage » de A Def : Le coeff directeur de la tangente au point d'abscisse a est appelé nombre dérivé de f en a. On le note f ' (a) Si la variable

Corrigé Métropole S A. P. M. E. P. Correction Baccalauréat S Métropole Juin 2010 E XERCICE 1 Partie A : 1. La fonction u est dérivable sur R, comme somme des fonctions x → x et x → e−x , chacune dérivable sur R. Soit x ∈ R. Comme u (x) = e−x − xe−x , on en déduit : u (x) + u(x) = e−x − xe−x + xe−x = e−x : u est donc est une solution de l’équation différentielle (E) 2. On sait d’après le cours que les solutions (sur R) de l’équation différentielle y + a y = 0 sont les fonctions hK définies sur

Calculs d’intégrales. Primitives Primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F ′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x → F(x) + C où

Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION • Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a, f est dérivable en a si lim h→0 f (a + h) − f (a) existe h et est égale à un réel que l’on appelle alors nombre dérivé de f en a et que l’on note f (a). • Si f est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que f est dérivable sur I et on appelle dérivée de f la fonction, notée f , qui à tout a de I associe f (a)

CORRECTION DU DEVOIR MATH 1.4 EXERCICE 1 1.a) La fonction Arctan est définie sur R. Par conséquent f l’est aussi. b) lim f ( x) x x lim 2 Arc tan( x 2 1 x) 1 x2 x2 x lim 2 Arc tan 1 x2 1 x ( x 2 1 x) ( x 2 1 x) ( x 2 1 x) lim 2 Arc tan X X 0 = xlim 2 Arc tan x2 1 x x lim 2 Arc tan 0 On en déduit donc que la courbe de f admet comme asymptote l’axe des abscisses. x lim f ( x) x lim 2 Arc tan( x 2 1 x) X lim 2 Arc tan X 2 2 . On en

Correction du devoir surveillé TS1 et TS3 Exercice 1 Partie A On considère la fonction f, qui à tout nombre complexe z associe le nombre complexe f ( z ) iz 2 2 i 1. Ecrire sous forme algébrique 1 i 2 i (2 i)(1 i) 3 1 i 1 i 2 2 2 2 i 3 1 Conclusion :la forme algébrique de est i 1 i 2 2 2 i 2. Calculer f 1 i 3 2 i f =i 2 1 i 1 i 2 2 z 2 3 2 1 i 2 2 i 9 4 6 1 i 4 4 3 2 1 3 i 2 i 2 i 2 2 3 2 1 i 2 2 5 5 i 2 Conclusion : f 2 i 5 5 i 1 i 2 3. Montrer que