Diagonale principale

quelconque x1 −3x1 −x2 = 3x1 3x1 + 4x2 = 3x2 en posant : X = x1 x2 . Donc toute vecteur de la forme : X = sera vecteur propre. (avec x1 = 0) Proposition 2 Les valeurs propres d’une matrice triangulaire A sont les valeurs des ´l´ments de la ee diagonale principale de la matrice. Preuve. La matrice A ´tant triangulaire, son polynˆme caract´ristique sera : e o e P (λ) = (a11 − λ) (a22 − λ) ... (ann − λ) et par suite, P (λ) = 0 ⇐⇒ λ = a11 , ou ....., ou ann Les valeurs propres de A seront : λ1 = a11 , λ2

forment la diagonale principale. t 7. On appelle transposée d'une matrice A = A , la matrice obtenue en permutant les lignes et les colonnes de A. La 1ère ligne devient la première colonne et inversement .... t  1 2  1 2 1   exemple :  2 3      2 3 5     1 5  Une matrice égale à sa transposée est dite symétrique. 8. Parmi les matrices carrées, on trouve les matrices triangulaires où tous les éléments d'un même côté de la diagonale principale sont nuls

de passage de la base canonique 〈 e1 , e2 〉 de þ à la base 2 −1  〈 X1 , X 2 〉 des vecteurs propres de M ; c’est la matrice de l’application identique id 2 et donc P þ est inversible. De plus P est telle que M = P ∆ P , où ∆ est la matrice diagonale des valeurs 0 1 propres de M : ∆ =  .  0 −1 5  −1 −1 d) P 1 t * 1  −1 −2  1  −1 −1 1  1 1 1 = P =   =–   =   = P. dét P −3  −1 1 3  −2 1  3  2 −1  3  1 1 1  1 1  1 2   1 1  =      2 −1 15  2 −1

• • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne. Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Elle est donc

par : K − ω M y =0 (4) Ce système linéaire admet n valeurs réelle λ = ω , et n vecteurs propres associés y , on regroupe les valeurs propres λ propres y dans la matrices modale Y. Λ= λ . λ . dans la matrice spectrale diagonale Ʌ et les vecteurs λ ; Y= y … y … y (5) On peut montrer facilement que les vecteurs propres satisfont des propriétés d’orthonormalité relativement aux matrices M et K. En effet, pour deux valeurs propres particulières

0      0 1 −1   −1 1 0  0 −1 −3 −2 0 1  L3 + L2 → L3 1 0 0 1 1 2     −1 1 0  0 1 −1    −3 1 1 0 0 −4 Après transformations élémentaires, la matrice qui apparait à gauche est triangulaire supérieure, et les coefficients sur la diagonale sont tous non nuls. On en déduit que A est inversible. On trouve son inverse en poursuivant la méthode.            −1 4 L3  1 1 2 1 0 0     1 0  0 1 −1   −1  0 0 1 3/4 −1/4 −1/4 → L3 L1 − 2L3 → L1 1 1 0 −1/2 1/2

30 Mars 2012 3 / 25 Matrices Diagonales Rappel: Une matrice diagonale est une matrice carr´e dont dont les ´l´ments e ee non diagonaux sont nuls. Exemples  −1 0 0 3  0 0  0 0  1 4   2 0 0 0 0 −8 0 0   0 0 −5 0 0 0 0 6 Il est tr`s simple et utile de travailler avec les matrices diagonales pour e plusieurs raisons: Elles sont triangulaires inf´rieures et sup´rieures ` la fois. e e a Leurs valeurs propres sont les entr´es de la diagonale. e Leur d´terminant est simplement

). Des simulations num´eriques en contexte biom´edical illustrent le bon comportement de SAUD face `a COM2, DEFAet FastICA. 2 Pr´eliminaires et probl´ematique L’ICA peut ˆetre interpr´et´ee comme une extension de l’Analyse en Composantes Principales (PCA) qui pour sa part n’impose l’ind´ependance statistique des composantes qu’`a l’ordre deux. Avant de d´efinir plus en d´etails l’ICA, rappelons la d´efinition d’un contraste [5]. Celle-ci n´ecessite d’introduire quelques notations. En particulier

ensuite X. AX=λIX AX-λIX=0  (A - λ I) X = 0 Ce système admet une solution si det (A-λI) = 0. VII.Diagonalisation d’une matrice Toute matrice carrée d’ordre n possédant n valeurs propres distinctes est réductible à la matrice diagonale. A’ est la matrice diagonale réduite de A. A et A’ sont semblables mais ne sont pas exprimés dans la même base. La matrice A’ est exprimée dans la base des vecteurs propres u1, … un associés aux valeurs propres λ1, … λn. 4  Diagonalisation d’une matrice

∈ I, ∀Q ∈ K[X], PQ ∈ I. Définition. Un idéal I de K[X] est prinicipal si et seulement si il est engendré par l’un de ses éléments c’est-à-dire si et seulement si il est de la forme I = PK[X] = {PQ, Q ∈ K[X]}. Théorème. (K[X], +, ×) est un anneau principal, c’est-à-dire que tout idéal de K[X] est prinicipal. 4) PGCD, PPCM, Bezout, Gauss. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X] = {AU + BV, (U, V) ∈ K[X]}. Le PGCD de A et B est l’unique