Division euclidienne

Pondichéry − 1. 4 2 + 23 3 + · · · + 23 10 . 17 avril 2015 A. P. M. E. P. Baccalauréat S 3. On considère le nombre de Mersenne 27 − 1. Est-il premier ? Justifier. 4. On donne l’algorithme suivant où MOD(N , k) représente le reste de la division euclidienne de N par k. Variables : Initialisation : Traitement : Sortie : n entier naturel supérieur ou égal à 3 k entier naturel supérieur ou égal à 2 Demander à l’utilisateur la valeur de n. Affecter à k la valeur 2. Tant que MOD(2n − 1, k) = 0 et

racine : 12 600 = 23 × 32 × 52 × 7 = 2 × 3 × 5 × 2 × 7 = 30 14 Pour décomposer un entier qui n'est pas trop grand en facteurs premiers, on opère des divisions successives en utilisant les critères de divisibilités. C'est ainsi que ci-contre 924 a été décomposé en 22 × 3 × 7 × 11. Soit à décomposer 233. Il est inutile de tester avec un calculatrice la division de ce nombre par tous les nombres entiers inférieurs, il y en a une cinquantaine ! Crible d'Eratosthène : un nombre n de N* est premier s'il n'est

l’affichage comporte huit chiffres, elle ne peut pas afficher de nombre supérieur à 99 999 999) ; • en plus des touches usuelles (chiffres, 4 opérations, signe pour l’obtention du résultat), comporter des touches parenthèses et une touche pour la division euclidienne permettant d’obtenir l’affichage du quotient et du reste entiers ; • ne pas comporter de touches [%], ni de touche de changement de signe [±] ; • permettre de stocker un résultat partiel ; • offrir la possibilité de définir, mémoriser et rappeler

1 Divisibilité, division euclidienne, congruences Résolution de problèmes 1 Des multiples et des diviseurs 1. Le code 1 signifie « allumée » et le code 0 « éteinte ». lampe n° étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5 étape 6 suivantes 2 1 0 0 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 0 4 1 0 0 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 0 0 6 1 0 1 1 1 0 0 2. Lampe n° 12 : 12 = 1 ¥ 12 = 2 ¥ 6 = 3 ¥ 4 donc 5 changements d’état ; état final : « éteinte » Lampe n° 25 : 25 = 1 ¥ 25 = 5 ¥ 5 donc

rattachent non seulement les opérations d'addition et de soustraction, mais encore la relation d'ordre notée . A la seconde, se rattachent la multiplication, le quotient, la divisibilité et pour ainsi dire tout ce qu'on appelle l'arithmétique. La division euclidienne en fait également partie mais cette "opération" est en fait trop complexe pour ne pas empiéter également sur la structure additive. Pour l'instant, nous limitons cette étude aux nombres entiers naturels. Nous étudierons dans quelles conditions

) On a : i^2=-1, i^3=i^2×i=-i ;i^4=〖(i^2)〗^2=1 ; i^5=i^4×i=i Pour tout entier naturel non nul n, il existe un unique couple (q,r)∈IN×IN tel que n=4q+r avec r∈{0,1,2,├ 3} ┤ , q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de n par 4. Ainsi i^n=i^(4q+r)=〖(i^4)〗^q×i^r=i^r Exemple : i^2008=i^(4×502+0)=i^0=1 ; i^2011=i^(4×502+3)=i^3=-i Identités remarquables 1-z^n=(1-z)(1+z+z^2+⋯+z^(n-1)+z^n )⟺1+z+z^2+⋯+z^(n-1)+z^n=(1-z^n)/(1-z) ,z≠1

dans Destination. IMUL Destination, Source, Valeur : Multiplie Source par Valeur et place le résultat dans Destination. Indicateurs affectés : CF, OF i) l’instruction DIV (« Divide ») Syntaxe : DIV Source Description : Effectue une division euclidienne d’entiers non signés. • Si Source est un octet : AX est divisé par Source, le quotient est placé dans AL et le reste dans AH. • Si Source est un mot : DX:AX est divisé par Source, le quotient est placé dans AX et le reste dans DX

unique polynˆme E et des complexes λi,j (1≤i≤k et 1≤j≤αi ) tels que : o k F =E+ i=1 λi,2 λi,αi λi,1 + + ··· + 2 X − xi (X − xi ) (X − xi )αi k αi =E+ i=1 j=1 λi,j · (X − xi )j u Preuve : L’existence de E s’obtient par division euclidienne de P par Q, o` F = P , Q et l’unicit´ vient facilement avec des consid´rations de degr´. Au passage, on note que si e e e e E = 0, son degr´ est celui de F . Pour le reste, on peut raisonner par r´currence sur le nombre de pˆles et, pour

…+ R0.X0 •  à t+1: [R 0, R 1,… R r-1] : Pt+1(X) = R r-1.Xr-1+ R r-2.Xr-2 + …+ R 0.X0 = (Rr-2 + gr-1.Rn-1)Xr-1+…+ (Ri-1 + gi.Rn-1)Xi+…+(vin+ g0.Rn-1)X0 = X.Pt(X) - Rn-1.g(X) + vin.X0 = [ X.Pt(X) mod g(X) ] + vin.X0 •  Si K=corps : Reste division euclidienne polynômiale par g(X) dans K[X] 61 Plan du cours •  •  •  •  Introduction : Notion de code Définition, distance, effacements et erreurs Code de Hamming Codes détecteurs d erreur –  –  –  –  LFSR et polynômes. Corps de Galois

p=0 k=0 d’o` d◦ (P Q) = d◦ P + d◦ Q. u On a P Q = QP , (P Q)R = P (QR) et P (Q + R) = P Q + P R. Exemple 1.1.2 Soient P (x) = 1 + x + x2 et Q(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3 , on a (P Q)(x) = 1 + 2x + 4x2 + 6x3 + 5x4 + 3x5 . 1.1.1.3 Division euclidienne de polynˆmes ou division suivant les puissances o d´croissantes e Proposition 1.1.1 Pour tous polynˆmes A et B (B = 0), il existe un et un seul polynˆme o o Q appel´ quotient, et un et un seul polynˆme R appel´ reste, tels que A = BQ + R avec e o e d◦