Division euclidienne

diophantienne ax + by = c. consiste à déteminer toutes les paires de nombres entiers x et y qui en sont solution. Dans la suite, on étudie d’abord un exemple particulier avant de considérer le problème en toute généralité. On suppose connus la division euclidienne, les notions de pgcd et de nombres premiers entre eux, les théorèmes de Bachet et de Gauss. § 1. Résolution d’une équation particulière. Considérons l’équation (1) 7x + 12y = 5. Il est clair que x = −1 et y = 1 est une solution de cette

(t)] ϕ (t) dt = f [ϕ (t)] ϕ (t) dt avec a = ϕ (α) et b = ϕ (β) α Int´gration d’une fraction rationnelle e 1. Le degr´ du num´rateur est-t-il strictement inf´rieur ` celui du d´nominateur ? e e e a e Si non, effectuer la division euclidienne du num´rateur par le d´nominateur. e e On est ramen´ alors ` la somme d’un polynˆme et d’une fraction rationnelle du type voulu. e a o 2. La fraction s’int`gre-t-elle imm´diatement ? e e u u 1 ou ou r = u .u−r si r = 1 C’est

l’ensemble des 193 entiers naturels inf´rieurs ou ´gaux ` 192 et on consid`re e e a e les deux fonctions f et g d´finies de la mani`re suivante : e e a ` tout entier a de A, f associe le reste de la division euclidienne de a83 par 193; a ` tout entier a de A, g associe le reste de la division euclidienne de a155 par 193. 1 M 2 ATH EMA TIQU ES 2 /15 10 G 18 bis A 01 S´ries : S1- S3 e Epreuve du 1er groupe . . a) D´montrer g(f (a)) ≡ a83×155 [193]. En d´duire que pour tout a ∈ A on a :

sur IR, intervalle centré en 0. [pic] D’où [pic] Donc [pic] Donc que le point I (– 1; 46) est centre de symétrie de C. 2) On a : [pic] donc 1 est racine de f d’où f(x) est factorisable par x – 1. Effectuons la division euclidienne de [pic] par (x – 1) x3 + 3x² – 24x + 20 x – 1 [pic] – x3 + x² x² + 4x – 20 4x² – 24x

sur des données de type ENTIER ou REEL, sont les opérations arithmétiques (+, -, *, /). Deux fonctions opérant sur des données de type ENTIER sont : ▪ Quotient(N1,N2) qui retourne le quotient de la division euclidienne de N1 par N2. ▪ Reste(N1,N2) qui retourne le reste de cette division . Exemples : Quotient(19,2) renvoie la valeur 9 et Reste(19,2) rend la valeur 1. Remarque ← On peut définir un nouveau type par réduction d’un type simple à un intervalle de valeurs, appelé type

parties régulières respectives P et Q. Alors fg admet en 0 un DLn, dont la partie régulière est le reste de la division euclidienne de PQ par Xn+1. [afficher] Démonstration Inverse Si u(x0) = 0 et si u admet un DLn en x0, alors 11−u admet un DLn. Ce développement limité se trouve en cherchant un DLn de ∑nk=0uk. Quotient On peut combiner le produit et l'inverse, ou faire une division suivant les puissances croissantes de la partie régulière du numérateur par celle du dénominateur. Composition

une solution particulière de 6x + 7y = 57. b. y = 2p + 1 avec p ∈ N. l’quation devient 6x + 7(2p + 1) + 8z = 57 ⇐⇒ 6x + 14p + 8z = 50 ⇐⇒ 3x + 7p + 4z = 25 ⇐⇒ 3x + 3p + 4p + 4z = 25 ⇐⇒ 3(x + p) + 4(p + z) = 25. (2) p + z = 3q + r Dans la division euclidienne de (p + z) par 3 on a : 0 r 0 et u(1) < 0. La calculatrice livre : u(0, 63) ≈ 0, 08 et u(0, 64) ≈ −0, 007. Donc d’après le théorème ci-dessus 0, 63 < α < 0, 64. Réponse α ≈ 0, 64 10−2 près par excès. c. Le tableau donne donc le signe de u

non nul fixé pour toute la suite du problème. Soit T(X) un polynôme fixé de [X] de degré n. Soit f l’application définie sur [X] qui à tout P(X) de [X] associe Q(X)+XR(X) où Q(X) et R(X) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de P(X 2) par T(X). ( On a donc P(X 2) = Q(X)T(X)+R(X) avec deg(R(X)) < deg(T(X))). On notera fn la restriction de f à n[X]. 18 Montrer que f est une application linéaire. 19 20 a) b) Montrer que fn est un endomorphisme de l’espace vectoriel

supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier, on dispose des notions de pgcd, ppcm et du théorème de Bézout qui nous dit que, pour r ≥ 2, les polynôme P1 , · · · , Pr sont premiers entre eux dans leur ensemble si, et seulement si, il existe des polynômes

´l´ment de la base canonique de P2 dans cette nouvelle base. ee (a) Montrer que la famille constitu´e des 3 polynˆmes ci-dessus est une famille libre de e o P2 . (c) Trouver toutes les racines de p. (Indication : on pourra effectuer une division euclidienne de polynˆmes) o o a e e e e 4. On consid`re l’ensemble P des polynˆmes (` coefficients r´els) de degr´ inf´rieur ou ´gal e ` 3 de la variable r´elle x. a e (a) Montrer que P est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions