Division euclidienne

3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 — u0 2 La représentation graphique permet de conjecturer que la suite (un) converge vers 12. 110476_C01_prof_fig01bis Problèmes ouverts 1 Pour tout entier naturel n, on note rn le reste de la division euclidienne de 3n par 8. Ainsi : 31 = 0 × 8 + 3 r1 = 3 ; 32 = 1 × 8 + 1 r2 = 1 33 = 3 × 8 + 3 r3 = 3 ; 34 = 10 × 8 + 1 r4 = 1 On peut vérifier que r14 = 1 et r15 = 3 et conjecturer que r2012 = 1. Avec les acquis de ce chapitre, on peut

x − y. C’est ´videmment une relation d’´quivalence, et l’ensemble quotient est not´ Z/nZ. La e e e partition de Z associ´e ` cette relation est la famille ` n ´l´ments e a a ee Ar = r + nZ = {r + nq}q∈Z , 0 ≤ r ≤ n − 1. Remarquons que la division euclidienne permet de d´montrer ce fait: si m est un entier, il e existe un unique couple d’entiers (q, r) tel que m = nq + r, 0 ≤ r ≤ n − 1. 5 Commentaire. La relation d’´quivalence pr´c´dente est compatible avec la structure d’ane e e a e neau

méthodes concérnant certaines classe de fonctions : 1. −du 1+u2 = − arctan(u) + c = − arctan(cos(x)) + c. P Intégrale d'une fraction rationnelle : Q . On procède par étapes ; -1er Etape : Si deg(P ) ≥ deg(Q) ; on fait d'abord une division Euclidiènne ona :P = E.Q + R R(x) P (x) Donc on a : Q(x) = E(x) + Q(x) ; avec ; deg(R) < deg(Q) -2eme Etape : On fait la décomposition en éléments simples dans et donc Exemple 1 : Calculer R[x] de R(x) Q(x) . I= x−1 x3 +4x Dans

… Fin Christophe de Vaulx 29 Types d'objets simples - Résumé Type entier réel Opération arithmétiques X X Opérations de comparaison X X caractère booléen X X Opérations logiques Affectation X X X X X Division entière division euclidienne : DIV MOD Division réelle : / Christophe de Vaulx 30 Expressions • Suite d'appels de fonctions et/ou d'opérations entre des objets : – il faut préciser l'ordre d'évaluation à l'aide de parenthèses ; – retourne un résultat stocké dans un

continue si Question 23 f est continue pour chaque x0 ∈ D . Si une fonction f a une asymptote oblique, alors lim f (x) = x→±∞ La r´ciproque est e fausse . ±∞ . L’asymptote oblique peut ˆtre calcul´e en effectuant e e 1. une division euclidienne, mais cela n’est possible que si f est rationnelle ; 2. des calculs de limites : la pente m et la hauteur h de l’asymptote oblique sont calcul´es e grˆce aux limites a m = lim f (x) x→±∞ x et h = lim x→±∞ f (x) − mx Question 24 Voici

Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1 Division euclidienne et pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2 Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Nombres

1)P − 2nXP. Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f . f est-il diagonalisable ? Correction [005654] Exercice 5 *** Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1 et B = X 4 − X. Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format (p

. . . . . . . . 3 1.2 Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26) ou x  18 (mod 26) donc Y → S. De même G → 0, car si y = 6, x  14 (mod 26) et G → 0, etc. ; le message décodé est : SOYEZ COOL ! Problème 4 B 1. Les multiples successifs de a apparaissent dans la colonne B et les restes de la division euclidienne de au par b dans la colonne C. 2. En recopiant vers le bas, on obtient d’autres coefficients : A 1. Voir ci-après. 2. a) 43 × 23 – 38 × 26 = 1. 3. Si les nombres saisis a et b ne sont pas premiers entre b) 2 012 × 114 – 347 × 661

: a c ac × = b d bd EXEMPLE 5 18 5 × 18 5× 3× 3× 2 3 × = = = 12 25 12 × 25 3 × 2 × 2 × 5 × 5 10 Remarque : décomposer les nombres en produits de nombres premiers permet d’obtenir directement une fraction irréductible. 3° Division de fractions Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la deuxième : a c a d ad ÷ = × = b d b c bc EXEMPLE II. 8 4 8 25 2 × 4 × 5 × 5 10 ÷ = × = = = 10 5 25 5 4 5× 4 1 RAPPELS SUR LES PUISSANCES