Droite sécante

exercice 1 : 1) soit f une fondtion croissante de R dans R telle que : f(1)=e et ∀(x, y) ∈ R2 , f(x) f(y) = f(x + y) a) calculer f(0) 1 b) Montrer que , pour tout x ∈ R , f(x) = 0 et f(−x) = f(x) c) Montrer que , pour tout x ∈ R , f(x) > 0 d) Montrer que , pour tout x ∈ R et tout n ∈ N , f(nx) = (f(x))n e) Montrer que , pour tout p ∈ Z, f(p) = ep f) Montrer que , pour tout r ∈ Q, f(r) = er g) Calculer f(x) pour tout x r´el. e 2) D´crire l’ensemble des fonctions croissantes f : R → R e telles que

que :[pic]. c) En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout[pic]. Calculer alors u2. EXERCICE N°3: 1) Soit F la fonction définie sur[pic]. a) Montrer que[pic]. b) En déduire que[pic] c) Montrer alors que F est dérivable à droite en 0 et que F’d (0)= - 1. 2) a) Montrer que[pic]. b) En déduire que : 0[pic]. 3) Montrer que F est dérivable sur[pic]et calculer F’(x)[pic]. 4) a) Montrer que F réalise une bijection de[pic]. b) Etudier la dérivabilité de F -1 sur[pic] 

des points de la courbe C où la tangente est horizontale. 2) Existe t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient directeur égal à −2 ? 2 3) Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d’équation y = − x − 5. 3 Réponses exercice 1 : 1) f (x) = −12x2 + 4x − 3 1 1 2) f (x) = × (3x2 − 4x) ; f (x) = × (6x − 4) = 3x − 2 2 2 √ 1 3) f (x) = √ × (x2 − 2) + ( x) × (2x) (forme f g) 2 x 1S - Dérivation c P.Brachet - www.xm1math.net 1 √

= − 0 f(t) dt 0. x En résumé, pour tout réel x de [−3, 4], F(x) 0. c) La fonction f est positive sur l’intervalle [0, 4]. Donc F(4) est l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 4. 4 y 3 D C B 2 1 O −4 −3 −2 −1 A 1 2 3 4 5 6 7 x 8 −1 −2 F(4) est plus petit que l’aire du rectangle OABC qui est égale à 4 × 3 = 12 et F(4)

ll estdesgrandeurs pourlesquelles I'addition des Lesôrsontlespartscumulées successives de la observations n'aguère desens: lestauxd'alphabétisaglobale masse ducaractère, soiticidela production tion,lestempératures, lesnoles enanglais, elc. totale : A I'inverse, lesimpôts payés parchacun surlerevenu XT , pour "r- p s'ajoutent donner lemontant totalperçu à cetitrepar I'Etat; la somme dessuperlicies desexploitations agricolesestla superficie agricole totale; lesproductions xl+ x) , Dz= p nalionales

d’Analyse Numérique, Chapitre 3 : Résolution Numérique Introduction Cas scalaire p = 1 Plan 1 Introduction Bibliographie Introduction Cas scalaire p = 1 Algorithmes de résolution Méthode de dichotomie Méthode de Newton Méthode de la sécante 2 Etude de la convergence Cours d’Analyse Numérique, Chapitre 3 : Résolution Numérique Introduction Cas scalaire p = 1 Bibliographie Introduction Bibliographie A. Quarteroni, R. Sacco et F. Saleri, « Méthodes Numériques pour

l’instant initial. On peut lire la vitesse sur un graphique horaire: - Si le graphique est plat, la vitesse est nulle. - Si le graphique est une portion de droite, la vitesse est la pente de cette droite. - Si le graphique n’est pas une droite, la vitesse n’est pas constante au court du temps et on utilise la méthode de la sécante pour calculer la vitesse moyenne. Accélération: L’accélératon est le quotient entre la vitesse et le temps. Elle s’exprime en [m/s] Est la différence de

: Je vous rappelle qu’une asymptote en +∞ est une droite d’´equation y = ax + b, telle que f (x) − ax − b tend vers 0 quand x tend vers +∞. De fa¸con informelle, la courbe repr´esentative se rapproche de la droite quand x tend vers +∞. S’il existe une telle droite, on a n´ecessairement a = lim f (x) = 21 x x→+∞ Soit x ∈ D. Calculons f (x) − 12 × x. x f (x) − 21 × x = 2(x−1) Donc lim f (x) − 12 × x = 21 . x→+∞ On en d´eduit que f admet la droite d’´equation y = 12 x + 12 comme asymptote en +∞. Pour

l’équation g(x) = f(x). 4) Préciser les coordonnées des points d’intersections de (f ) et (D). 5) Tracer sur un même repère les droites (T ), (D) et la courbe (f ). | | | | | Illustration

3 1­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f . 2­ Soit Cf  la courbe représentative de f. a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf. b) Déterminer une équation de la droite T tangente à Cf  en A. 3­ Etudier la position relative de la courbe Cf  et de la droite T. (en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)­g(x)) Position relative d'une courbe et d'une tangente x3 2 −x −3 x1 . 3 1­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f