Écart type

Maths Les Probabilités : Définition : Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut pas prévoir précisément son résultat. Issue ou Eventualité : Chaque résultat possible. Univers : Ensemble de toutes les éventualités (se note Ω). Exemple : (Voir cours) Lois de probabilité : On définit une loi de probabilité sur l’univers Ω = x1 ; x2 ; x3 ; … ; xn La probabilité de l’univers est définit telle que la somme de toutes les issues soient égales à 1. La loi de probabilité

mesure, les opérateurs feront le test selon leurs connaissances de ce système. Chaque opérateur doit mesurer 3 fois une même pièce, et cela pour les 10 pièces. Calcul Après avoir relevé les valeurs de chaque mesure, le calcul des étendues et des écarts types doit être réalisé. L'étendue d'une série de mesure est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de cette série de mesures. Ainsi, pour les 3 mesures de chaque pièce effectuées par chaque opérateur, l'étendue est calculée

Exercice 6.3 p231 X1 / X2 | -5 | 5 | 10 | Proba marginale X1 | -10 | 0,05 | 0,15 | 0 | 0,20 | 8 | 0,05 | 0,35 | 0,10 | 0,50 | 20 | 0,10 | 0,10 | 0,10 | 0,30 | Proba marginale X2 | 0,20 | 0,60 | 0,2 | 1 | Un exercice de contingence donne 3 distributions de probabilité : * Loi marginale de X1 (loi de proba de X1) * Loi marginale de X2 (loi de proba de X2) * Loi de probabilité conjointe : c’est la loi du couple X1 et X2 A ) loi de proba de X1² X1² | Pi | 64 | 0,50 |

e e S´ries temporelles ou chronologiques e Donn´es en coupe instantan´e e e Donn´es panel e Statistique descriptive Caract´ristiques de tendance centrale e Moyenne arithm´tique e M´diane Me e Caract´ristiques de dispersion e Variance et ´cart-type e Coefficient de variation Caract´ristiques de forme e Distribution sym´trique e Coefficient d’asym´trie ou de dissym´trie ou skewness e e Le coefficient d’aplatissement (Kurtosis) 3 Mod`les probabilistes e Loi de probabilit´ d’une variable discr`te

Coefficient (degré) de détermination 0.8164 n 2 2 x 2 0 V R2  V 1  V V  i 1 n i 1   yˆ  y  2 i  y  y  2 i i 1 n i 1 Adjusted R Square La valeur ajustée (corrigée) du coefficient de détermination Standard Error L’écart-type des erreurs de l’échantillon Observations Nombre des observations (n) 0.8023 Rc2 1  n k 1  R2 n 1  n 6.3937 15 Vu2 su   n 2 n i 2  yˆ i  2   y  y  i n 2 u 2 0 y y i  2  yˆ i  i 1 n 2 Applications régression

Alors, la moyenne est X = 1 k ∑n c N i =1 i i = 250 = 25 10 • Donc, par la formule non simplifiée, la variance est: Var(X) = 1000 = 100 10 • Et par la formule simplifiée, elle sera: Var ( X ) = 725 − (25) = 725 − 625 = 100 2 • D’où, l’écart-type est σ X = Var(X) = 100 = 10 15 Pour l’exemple de calcul de la variance:: variance • Le coefficient de variation CV = σ(X) 10 = = 0,4 X 25 • Soit donc un coefficient de variation de 40% supérieur à 30% • Donc, la série étudiée et non-homogène

Correction exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Exercice 1 1) Le forage conduit à une nappe de pétrole avec une probabilité 0,1 ou pas avec une probabilité 0,9. C’est donc bien une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,1. Il a bien que deux issues possibles. 2) a. Les forages doivent être indépendants pour que  suive une loi binomiale. b.  ≥ 1 = 1 −  = 0 = 1 − 0,9! ≈ 0,613 Exercice 2 On considère que le tirage de 1000 résistances a lieu avec remise et

Myriam Maumy-Bertrand 4`eme ann´ee - ESIEA - 2007/2008 T. D. no 1 Les m´ ethodes d’´ echantillonnage Exercice 1. Soit une variable Y d´efinie sur une population de taille N = 4 individus. i Y 1 2 3 4 11 10 8 11 1. Quelle est la distribution de Y ? En d´eduire la moyenne E[Y ] = µ, la variance σ 2 = Var[Y ] et la variance corrig´ee not´ee σc2 . 2. Nous tirons un ´echantillon de taille n = 2 sans remise, a` probabilit´es ´egales. a) Combien d’´echantillons pouvons-nous tirer ? b) Pour chaque ´echantillon

Échantillonnage Les notions d'échantillon et de fluctuation d'échantillonnage ont été vues en Seconde. Une étude statistique sur un caractère particulier d'une population importante est longue et chère. Le calcul de la fréquence sur un échantillon-test permet d'estimer sa proportion dans l'ensemble de la population, à une marge d'erreur près. Avec un taux de confiance de 95 %, un intervalle de fluctuation de la proportion peut être calculé. Il dépend de la taille de l'échantillon et de la fréquence

num´ero 1 de la s´erie 1, l’estimation de σ 2 est s2 = (2.20 po)2 = 4.84 po2 Quelle est l’erreur-type associ´ee `a cette estimation ? Solution. L’erreur type associ´ee `a une estimation est l’estimation de la racine carr´ee de l’erreur quadratique moyenne de l’estimateur. L’estimateur S 2 ´etant sans biais pour σ 2 , son erreur quadratique moyenne est ´egal `a sa variance. On a vu que 2 4 Var[S type√associ´ee `a l’estimation s2 est donc l’estimation √ ] = 2σ /(n − 1). L’erreur √ de 2 n−1 σ 2 c’est-`a-dire