Écart type

LOI BINOMIALE I) Introduction La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est p = 3 . 4 1. On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus. (X = 0, 1 ou 2) a) Calculer la probabilité des événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2]. (On pourra s'aider d'un arbre "pondéré" et on désignera par S les succès et E les échecs). 2 b) Calculer k =0 2. On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès

la probabilité de rejeter un lot. Exercice 3 : Modèles continus Une machine est chargée de remplir des bidons d’une contenance nominale de 5 litres. On considère que le processus de remplissage suit une loi normale de moyenne 5 litres et d’écart type de 0,1 litres. 1. Quel est, au dixième près, le pourcentage de bidons contenant moins de 4,85 litres. 2. Quel est, au dixième près, le pourcentage de bidons contenant entre 4,95 et 5,05 litres. 3. On remplit un lot de 1000 bidons. Sachant que la

Exercice 3 Les microhémorragies du cerveau peuvent provoquer un traumatisme crânien. Ces microhémorragies peuvent se produire chez un boxeur lors d’un match. Lors d’un match, si un boxeur a un nombre de microhémorragies strictement supérieur à 2, alors la probabilité qu’il ait un traumatisme crânien est 0,1. Si le nombre de microhémorragies est inférieur ou égal à 2 lors d’un match, alors la probabilité que le boxeur ait un traumatisme crânien est nulle. On suppose que le nombre de microhémorragies

2 Coefficient directeur Propriété 7.1 Soit A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) avec x A = x B . Alors le coefficient directeur de la droite (AB) est : yB − y A m= xB − x A Démonstration : On a x A = x B donc l’équation réduite de la droite est du type y = mx + p. Les points A et B sont sur la droite donc leurs coordonnées vérifient l’équation de la droite. On a donc y A = mx A + p et y −y y B = mx B + p ; en soustrayant ces deux égalités on obtient y B − y A = m(x B − x A ) donc m = xBB −x AA

Correction BTS CGO Mathématiques 2011 Exercice 1 : A. Evénements indépendants, probabilités conditionnelles 1°) ܲሺ‫ܧ‬ଵ ሻ = ܲሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ = ܲሺ‫ܣ‬ሻ × ܲሺ‫ܤ‬ሻ car ‫ ܣ‬et ‫ ܤ‬sont indépendants ࡼሺࡱ૚ ሻ = 0,02 × 0,03 = ૙, ૙૙૙૟ 2°) ‫ܧ‬ଶ correspond à : soit le défaut "a" soit le défaut "b" soit les deux défauts donc ‫ܧ‬ଶ = ‫ܤ ∪ ܣ‬ ࡼሺࡱ૛ ሻ = ܲሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ = ܲሺ‫ܣ‬ሻ + ܲሺ‫ܤ‬ሻ − ܲሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ = 0,02 + 0,03 − 0,0006 = ૙, ૙૝ૢ૝. 3°) ‫ܧ‬ଷ est le contraire de ‫ܧ‬ଶ donc : ࡼሺࡱ૜ ሻ = 1 − ܲሺ‫ܧ‬ଶ ሻ = 1 − 0,0494 = ૙, ૢ૞૙૟

estimée ̂ 13,1829 Dans ce contexte quelle est la population ? Quel est l’échantillon ? Quelle est la variable étudiée et de quel type est-elle ? Proposer un estimateur de la surface moyenne des studios clermontois. Cet estimateur est-il convergent ? Est-il biaisé ? Proposer une estimation de la surface moyenne des studios clermontois. Proposer une estimation de l’écart-type de la surface des studios clermontois 1 5) 6) 7) Pour déterminer un intervalle de confiance de la surface moyenne des studios

Probabilités : Loi numérique Asie 2009 Correction de l'exercice Une association propose à ses adhérents une sortie payante, Les adhérents peuvent choisir d'emporter leur pique-nique ou de payer à l'association un supplément pour le repas. Le tableau ci-dessous donne les différents tarifs suivant l'âge des adhérents. catégorie A : adultes (plus de 18 ans) B : jeunes de 10 à 18 ans C : enfants de moins de 10 ans prix de la sortie 20 € 15 € 8 € prix du repas 6 € 5 € 3 € L'association

Propri´t´ 15 Pour des ´v´nements non disjoints, l’additivit´ devient e e e e e P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B]. En revanche, on n’a pas en g´n´ral d’expression pour la probabilit´ de l’intersection. En partie e e culier, on n’a pas de factorisation du type P[A ∩ B] = P[A] · P[B]. Lorsque cela sera le cas, on dira que les ´v´nements A et B sont ind´pendants. e e e 2.2.2 Equiprobabilit´s e D´finition 15 Les ´v´nements ´l´mentaires sont dits ´quiprobables, si toutes les probabilit´s e e e ee e e

0,03 X 0,06 = 0,0018 P(AnD̅) = P(D̅) X PD̅(A) = 0,97 X 0,92 = 0,8924 3. On a P(A) = P(AnD) + P(AnD̅) = 0.8942 4. On cherche PA(D) = P(AnD)P(A) = 0,00180,09842 = 0,002 Loi binomiale : 1. On répète 10 fois une expérience de type succès-échec où le succès est d’obtenir un sac dans défaut et qui a une probabilité de 0.97. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres 10 ; 0,97 2. P(X=10) = 0,9710X0,030 = 1X0,9710X1 = 0,74

= ln t. f R´soudre (1) consiste ` trouver toutes les fonctions f qui v´rifient (1) sur un certain e a e intervalle I. 7.1 7.1.1 Equations diff´rentielles lin´aires d’ordre 1 e e D´finitions e Ce sont les ´quations diff´rentielles du type e e a(t)f (t) + b(t)f (t) = g(t) (2) o` a, b et g sont des fonctions continues sur un intervalle I. u On suppose que la fonction a ne s’annule pas sur I. Sinon, on se place sur un sous-intervalle de I sur lequel la fonction a ne s’annule