Endomorphisme

. . . . . . . . . . . . 10 14.2. Matrice triangulaire . . . . . . . . . . . 10 14.3. Ordre quelconque . . . . . . . . . . . . 10 14.4. Déterminant d’un produit . . . . . . . 10 14.5. Dét. d’une mat. triangulaire par blocs 11 15. Réduction des Endomorphismes 11 15.1. Valeurs propres et vecteurs propres . 11 15.2. Polynôme caractéristique . . . . . . . 15.3. Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . 11 15.4. Diagonalisibilité et diagonalisation . 11 15.5. Triangularisation . . . . . . . . . . . 11

associées d’un espace E et de son dual E*. Orthogonalité. b) Calcul matriciel et systèmes d’équations linéaires. c) Réduction des endomorphismes et des matrices carrées : valeurs propres d’un endomorphisme, sous-espaces propres, vecteurs propres ; réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Polynôme caractéristique, ordre de multiplicité d’une valeur propre. Endomorphismes diagonalisables ; valeurs propres d’une matrice carrée, vecteurs propres. Diagonalisation des matrices carrées. 2. espaces vectorieLs

matrices) :  B base de E f ∈ L (E, F ) si ,  C base de F , alors mat(B,D) (g ◦ f) = mat(C,D) (g) × mat(B,C) (f) . g ∈ L (F, G) D base de G ATTENTION : On n’a donc malheureusement qu’une relation de Chasles ”à l’envers” :-( par contre, pour les endomorphismes, tout va bien :-) si f ∈ L (E) , B base de E , alors matB (g ◦ f ) = matB (g) × matB (f ) α)”Associativité”.  A ∈ Mnp (K) B ∈ Mpq (K) alors (AB) C = A (BC) PROP : si  C ∈ Mqr (K) D4 (par les applications linéaires, et par le calcul). 4 10

admet des solutions non nulles, on exprimera celles-ci comme des combinaisons linéaires de solutions fixées. Voir l’application fondamentale. Une application fondamentale. • La recherche de valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice ou d’un endomorphisme (voir chap 5 et 6) conduit à la résolution de systèmes du type ⎧ ⎧ ⎨ a1,1 x + a1,2 y + a1,3 z = lx ⎨ a1,1 − l x + a1,2 y + a1,3 z = 0 ⇔ a2,1 x + a2,2 − l y + a2,3 z = 0 a2,1 x + a2,2 y + a2,3 z = ly ⎩ ⎩ a3,1 x + a3,2 y + a3,3 z = lz a3,1 x + a3

l’espace des polynˆomes de degr´e ≤ n et φ l’endomorphisme de E qui `a tout P ∈ E associe P + P ′ (o` u P ′ est le polynˆ ome d´eriv´e de P ). Montrer que φ est surjectif. Indication : montrer d’abord que φ est injectif. Solution : Comme φ est un endomorphisme de l’espace de dimension finie E, on sait qu’on a les ´equivalences : φ surjectif ⇐⇒ φ bijectif ⇐⇒ φ injectif donc il suffit de montrer que φ est injectif. Or, soit P un ´el´ement non nul de E, de degr´e d ≤ n, alors P ′ est de degr´e d − 1 si

propriété suivante : ∀ (x,y) ∈ E 2 On en déduit les propriétés suivantes : f → − → − 0 = 0 et − − f (−→) = − f (→) u u − ∀→ ∈ E u ∀ (λ,µ) ∈ K2 f (λ.x + µ.y) = λ. f (x) + µ. f (y) Définition 1.15 Une application linéaire de E dans E s’appelle un endomorphisme. Définition 1.16 Une application linéaire de E dans F bijective s’appelle un isomorphisme. Définition 1.17 Une application linéaire de E dans E bijective s’appelle un automorphisme. Définition 1.18 L’espace vectoriel des applications linéaires de

distances et continuité, • série (généralités, entière, Fourier), • convergence simple, uniforme et normale, • fonctions vectorielles, • intégrale à paramètre, • intégrale double et triple, • géométrie euclidienne, • algèbre : • réduction endomorphisme • espace préhilbertien • équations différentielles linéaires vectorielles • coniques et quadriques Ces listes d’enseignements n’ont rien d’exhaustives car chaque université a son projet pédagogique, ce qui veut dire que : • certaines matières

on parle d'isomorphisme. Si E = F, on parle d'endomorphisme. Si E = F et f bijective, on parle d'automorphisme. Si F = , on parle de forme linéaire. On note L(E,F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F. On note L(E) l'ensemble des endomorphismes de E. On note E* l'ensemble des formes linéaires de E (on l'appelle dual de E). Il s'agit d'espaces vectoriels. L'élément nul est l'application identiquement nulle. On peut composer les applications linéaires entre elles. Soit f élément de L(E

composition notée ♠ ∀(a, s) ∈ A × S, ∀(a′ , s′ ) ∈ A × S, (a, s) ♠ (a′ , s′ ) = (a · a′ , s · s′ ). Montrer que R est une relation d’équivalence sur F et que F/R peut être muni de la structure d’anneau quotient. Exercice 13 Déterminer tous les endomorphismes du corps R. Soit (A, +, ·) un anneau commutatif unitaire. Soit S une partie de A stable pour · ne contenant pas 0. Références [1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale. [2] M. Serfati, Exercices de mathématiques

composantes du vecteur dans la base : d'où on déduit = 2.9. Changement de base et application linéaire Comme on l'a vu, la matrice d'une application linéaire dépend elle aussi de la base considérée. Considérons tout d'abord le cas d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n. Soient, comme plus haut et ’deux bases de , et soit la matrice de passage correspondante. Soit , et soit . On a alors ′ la matrice de dans la base . ′ où on a noté En restant dans la base , on a aussi , on