Endomorphisme

constitué des vecteurs colonnes de la matrice, puisque ces vecteurs colonnes engendrent Imf. II : Anneau des matrices carrées 1– Définition On note n( ) l'ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes. Il s'agit des matrices associées aux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n, dans une base donnée. ( n( ),+, ×) est un anneau. On prendra garde que AB peut être nul alors que ni A ni B n'est nul (on dit que l'anneau n'est pas intègre), et que AB est en général différent de BA (on dit

28 Soit n ≥ 2 et E = Rn [X] , on définit f par f (P ) = X 2 − X P (1) + X 2 + X P (−1). 1. Montrer que f est un endomorphisme de E. 2. Donner la matrice de f dans la base canonique. Quel est le rang de f ? 3. Déterminer ker f et Im f. Exercice 23.29 Soit n ∈ N, n ≥ 2, on note E = Rn [X] , on définit pour P ∈ E, ϕ (P ) par ϕ (P ) = (X − 1) P ′ + P ′′ (0) 1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de E. 2. Donner la matrice M de ϕ dans la base canonique de E. 3. Déterminer ker ϕ et Im ϕ,donner une base de

5. Application linéaire Pour montrer que f est une application linéaire, on utilise la définition. En cas de difficulté, on peut effectuer la démonstration en deux temps : l’additivité et la multiplication externe. 6. Endomorphisme Pour montrer que f est un endomorphisme, on montre que f est une application linéaire sur l’espace vectoriel E puis que f a pour ensemble d’arrivée E. Pour cela, on montre que pour tout u appartenant à E, on a f (u) appartient à E. En général, dans le cas où E est

d’une famille de vecteurs pour démontrer qu’elle est libre ou génératrice. Notation rg(u 1 , . . . , u p ). C - Applications linéaires et représentations matricielles C ONTENUS C APACITÉS & COMMENTAIRES a) Généralités Applications linéaires, endomorphismes, isomorphismes et automorphismes. Opérations sur les applications linéaires : combinaisons linéaires et composées. Règles de calcul. Réciproque d’un isomorphisme, composée d’isomorphismes. Image directe, image réciproque d’un sous-espace vectoriel

affines 2.1 2.1.1 Propriètés caractéristiques d’une application affine Définition et propriètés élémentaires Définition 14 Soit E un espace affine de direction E. On dit qu’une application f : E −→ E est une application → − affine, s’il existe un endomorphisme de E, noté f , telle que −−−−−−→ → − −−→ ∀M ∈ E , ∀N ∈ E , f (M) f (N) = f (MN) → − Dans ce cas, f s’appelle l’application linéaire associée à f Exemples 13 Soit E un R-espace vectoriel muni de sa structure affine canonique : E × E −→ E → − (a

E un espace vectoriel de dimension n et f une application lin´aire de E dans lui-mˆme. Montrer que les deux assertions qui suivent sont e e ´quivalentes : e 1 1. Ker(f ) = im(f ). 2. f 2 = 0 et n = 2 rg(f ). Exercice 6. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g = g ◦ f . Montrer que ker(f ) et Im(f ) sont stables par g. Exercice 7. Soit f ∈ L(E). Montrer que ker(f ) ∩ Im(f ) = f (ker(f ◦ f )). Exercice 8. Donner des exemples d’applications lin´aires de R2 dans R2 e v´rifiant : e 1

∞ ≤ f ∞ n! 1 donc T n (f ) ∞ ≤ n! f ∞ et par le théorème monumental l’endomorphisme T n est continu sur 1 n E et |T | ≤ n! . n 1 1 II.3.7 T n (f0 ) = x donc T n (f0 ) ∞ ≤ n! f0 ∞ d’où |T n | = n! . n! n n II.3.8 T tend vers 0 comme endomorphisme donc T (f)CVU vers 0 donc CVS vers 0 sur [0, 1] . La question est tournée de façon idiote. x III.1.1 Ecrivons H (f ) (x) = ex 0 e−t f (t) dt. Comme f est continue la primitive de e−t f (t) x aussi donc H (f) l’est. Ensuite H est linéaire car 0

dit qu’elle est un morphisme. Définition 9. Soient E et F deux espaces vectoriels et f une application de E dans F . On dit que l’application f est un : • morphisme si elle est linéaire, • isomorphisme si elle est linéaire et bijective, • endomorphisme si elle est linéaire et E = F , 14 Maths en Ligne Espaces vectoriels UJF Grenoble • automorphisme si elle est linéaire, bijective et E = F . Voici • • • • • • • • • • quelques exemples d’applications linéaires. de C

els distincts deux a deux et e ` l’application de dans de a) Montrer que est une application lin´ aire injective. e b) En d´ duire que quels que soient les r´ els e e v´ rifiant : e , il existe un unique polynˆ me o II.2 Soit et deux endomorphismes de diagonalisables et v´ rifiant e . a) D´ montrer, sans se contenter d’´ noncer le r´ sultat du cours, que tout sous-espace propre e e e de est stable par . b) Soit les valeurs propres distinctes de et les sousespaces propres de respectivement

matrice M de Mn(IR) associe f (M) = M + tr(M) I, a) Montrer que f est un endomorphisme de Mn(IR). b) Utiliser la première question pour déterminer les valeurs propres de f. En déduire que f est un automorphisme diagonalisable de Mn(IR). 3) Soit g l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe g (M) = M + tr(M) J, où J désigne une matrice non nulle de Mn(IR) dont la trace est nulle. On admet que g est un endomorphisme de Mn(IR). a) Établir que le polynôme X 2 – 2 X + 1 est un polynôme annulateur