Endomorphisme

linéaire Pseudo-inverse d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire Supplémentaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire Commutant des endomorphismes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire, anneaux Matrices, déterminant 51 52 53 54 55 56 Etude d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire, matrices

le reste de la division euclidienne de P(X 2) par T(X). ( On a donc P(X 2) = Q(X)T(X)+R(X) avec deg(R(X)) < deg(T(X))). On notera fn la restriction de f à n[X]. 18 Montrer que f est une application linéaire. 19 20 a) b) Montrer que fn est un endomorphisme de l’espace vectoriel (n[X], +, .). Dans cette question uniquement n = 2 et T(X) = X 2. Donner la matrice A de f2 sur la base canonique (1, X, X 2). Calculer A 2. En déduire que f2 est bijective et donner son application réciproque. En déduire

Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre pair ? Exercice 8 [ 01417 ] [correction] Comparer det(ai,j ) et det((−1)i+j ai,j ) où (ai,j )1 i,j n ∈ Mn (K). Déterminant d’un endomorphisme Exercice 2 [ 01411 ] [correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E vérifiant f 2 = −Id. Montrer que l’espace E est de dimension paire. Exercice 9 [ 03382 ] [correction] Soit A ∈ Mn (R) vérifiant ∀i, j ∈ {1, . . . , n} , ai,j ∈ {1, −1} Montrer 2n−1 | det A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant

fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On considère l’application f qui, à tout élément P de E, associe f (P) = P’’ – 5P’ + 6P, où P’ et P’’ désignent respectivement les dérivées première et seconde de P. 1) Montrer que f est un endomorphisme de E. 2) Écrire la matrice A de f relativement à la base (e0, e1, e2). 3) a) Établir que f est un automorphisme de E. En déduire Ker f. b) Écrire la matrice de f –1 relativement à la base (e0, e1, e2). 4) a) Déterminer la seule valeur propre 

(x) ̸= 0. Montrer que la famille (x, ϕ(x), ϕ2 (x), . . . , ϕn−1 (x)) est une base de E . Exercice 6 Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E , de dimension nie n. Montrer l'équivalence entre les deux propriétés suivantes : 1. ker f = Im f , 2. f 2 = 0 , n pair et rg f = n2 . 1 Exercice 7 Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie n, où K est R ou C. Soit f un endomorphisme de E vériant (f − 2Id) ◦ (f − 3Id) = O, où Id est l'application identité de E et O est l'endomorphisme nul

que : e ∀x > 0 |l − F (x)| 2 x ∀x ∈ R ∆ (f ) (x) = f (x + 1) − f (x) et T (f ) (x) = f (x + 1) 1, Partie III 1. (a) D´terminer deux r´els α et β, ind´pendants de n, tels que : e e e π On admettra (ais´ment !) que ∆ et T sont des endomorphismes de F . e On note ∆0 = T 0 = IdF (donc si f ∈ F, ∆0 (f ) = T 0 (f ) = f ), et, si j ∈ N, j ∆j = ∆j−1 ◦ ∆ = ∆ ◦ ∆j−1 , T j = T j−1 ◦ T = T ◦ T j−1 . 1. (a) ∀n ∈ N∗ 0 αt + βt2 cos (nt) dt = 1 n2 α et β sont d´sormais ainsi fix´s. e e

2e année Réduction des endomorphismes 2e année 197 169 Applications linéaires 1re année et 2e année 62 173 Polynômes annulateurs 200 2e année 63 178 180 183 Espaces préhilbertiens 202 2e année Applications linéaires particulières 1re année 64 65 66 67 Orthogonalité 2e année 207 56 57 58 59 Écritures matricielles 1re année Espaces vectoriels euclidiens 2e année 211 Calcul matriciel 1re année Endomorphismes orthogonaux 2e année 212

libre ; et demontrer que Ln est injective. (v) En utilisant le pgcd D de P et Q veri er qu'on a : Im(Ln) Dn+p?1 . (v ) Demontrer que Im(Ln) = Dn+p?1 si et seulement si Q divise P et deg(Q) = p ? 1. Soient A et B deux elements de K X ]. Soit f un endomorphisme du K -espace vectoriel E . On pose U = A ^ B; V = A _ B . Exprimer Ker(U (f )); Im(U (f )); Ker(V (f )); Im(V (f )) a l'aide de Ker(A(f )); Im(A(f )); Ker(B (f )); Im(B (f )). Soit n>2 ; soit E l'espace vectoriel Mn (K ) (K est un corps commutatif)

Applications multilinéaires 41 2.2.1 2.2.2 41 41 Généralités Applications multilinéaires alternées Déterminant d'une famille de n vecteurs dans une base d'un ev de dimension n 2.3.1 2.3.2 Espace n (E) Propriétés 43 43 44 2.4 Déterminant d'un endomorphisme 45 2.5 Déterminant d'une matrice carrée 46 III Table des matières 2.6 2.7 2.8 2.9 Développement par rapport à une rangée 49 2.6.1 2.6.2 49 53 Cofacteurs et mineurs Comatrice Calcul des déterminants 55 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2