Endomorphisme

avec ai,j = j−1 i−1 Exercice 44 [ 00715 ] [correction] Soient a ∈ C et f : C → C définie par f (z) = z + a¯ z. Former la matrice de l’endomorphisme f du R-espace vectoriel C dans la base (1, i). Déterminer image et noyau de f . Matrice d’un endomorphisme dans une base bien choisie R3 [X] → R4 Exercice 41 [ 01270 ] [correction] On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de R3 suivants : P = (x, y, z) ∈ R3 | x + 2y − z = 0 5 i−1 = Cj−1 et ϕ ∈ L(Rn [X]) canoniquement représenté

vecteur x de E se décomposant comme x = x1 + x2 , avec (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 , associe le vecteur x1 . On rappelle que si A est une matrice de Mn (R), la matrice exponentielle de A est la matrice : exp(A) = Ak . k=0 k! +∞ De même si u est un endomorphisme de E, l’exponentielle de u est l’endomorphisme : exp(u) = uk . k=0 k! 1/4 +∞ Dans les parties II. et III., on propose une méthode de calcul d’exponentielle de matrice à l’aide de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable

autoris´es, sous r´serve des conditions e e e d´finies dans la circulaire n◦ 99-186 du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈ N, un+1 = un ◦ u. On note Kn [X] la K-alg`bre des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, Mn (K) la K-alg`bre e o e e e a e des matrices carr´es de taille n ` coefficients dans K de matrice unit´

de fa¸on unique comme combinaison lin´aire des vecteurs e c e (x1 , . . . , xm ). Les scalaires (λ1 , . . . , λm ) de cette combinaison sont appel´s composantes de x dans e la base B . (3.8) R´ciproquement, un projecteur p de E i.e. un endomorphisme de E v´rifiant p ◦ p = p, est la e e projection sur Imp et parall`lement ` Ker p, qui sont deux sous-espaces suppl´mentaires de E . e a e (3.9) Dans le contexte (2.4), la sym´trie par rapport ` A et parall`lement ` B est l’application s de

L’essentiel du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 5. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 5.2 5.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2e année Réduction des endomorphismes 2e année 189 161 Applications linéaires 1re année et 2e année 60 165 Polynômes annulateurs 192 2e année 61 170 172 175 Espaces préhilbertiens 194 2e année Applications linéaires particulières 1re année 62 63 64 65 Orthogonalité 2e année 199 54 55 56 57 Écritures matricielles 1re année Espaces vectoriels euclidiens 2e année 203 Calcul matriciel 1re année Endomorphismes orthogonaux 2e année 204

entre les 4 propriétés • f est continue sur E • f est continue en 0 • il existe une constante K > 0 telle que f (x )  K x • f est Lipschitzienne sur E Ex : Sur E = IR2 muni de son produit scalaire ( espace euclidien ) , les endomorphismes orthogonaux vérifient f (x )  x , ils sont donc continues sur E Contre ex : la dérivation sur l’ensemble des polynômes est linéaire mais pas continue Th : Toute application linéaire d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un

préserve les combinaisons linéaires : ∀x, y ∈ E, ∀λ, µ ∈ K, f (λx + µy) = λf (x) + µf (y). L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E, F ). • Une application linéaire de E dans E est aussi appelée un endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est noté L (E). Explication Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L (E, F ). • Alors f (0E ) = f (0E + 0E ) = f (0E ) + f (0E ), donc après simplification : • Si A est un sous-espace vectoriel de E, alors

variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson de paramètre λ. On pose M = max {X,Y }. Déterminer un équivalent de P (M = n) lorsque n tend vers l'in�ni.Stanislas Révisions Réduction T.D. IV PSI 2021-2022 � � � I. Matrices & Endomorphismes explicites Exercice 1. [ccinp] ('21) Pour tout m réel, on pose Am =−m− 1 m 2 −m 1 m −2 m m− 3 . 1. Déterminer, en fonction des valeurs de m, les valeurs propres et les sous-espaces propres de Am. 2. Pour quelles valeurs de m la matrice Am

Exercice 7 [ 01416 ] [correction] Soit A une matrice antisymétrique d’ordre 2n + 1. Montrer que det A = 0. Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre pair ? Déterminant d’un endomorphisme Exercice 2 [ 01411 ] [correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E vérifiant f 2 = −Id. Montrer que dim E est pair. Exercice 8 [ 01417 ] [correction] Comparer det(ai,j ) et det((−1)i+j ai,j ) où (ai,j )1 i,j n ∈ Mn (K). Calcul de déterminants Exercice