Endomorphisme

④ Soit f une application de 3 vers 3 définit par : ( ) ( ) ( )3, , , , , 2 , , 2x y z f x y z x y z x y z x y z∀ ∈ = + − + + + − 1°- Montrer que : f est un endomorphisme de 3 2° - Déterminer la matrice de f associe à la base canonique de 3 3°- Déterminer ( )Ker f , f est -elle injective ? 4°- Soit l’ensemble F tel que ( ){ }, , / 2 0F x y z x

11 PCSI 2009-2010 Programme de Mathématiques Lycée Marceau B) Applications linéaires 1 - Définition, propriétés immédiates des applications linéaires 2 - Composée de deux applications linéaires, réciproque d’une bijection linéaire. Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme. 3 - Sous espaces et applications linéaires : image et noyau d’une application linéaire. 4 - Projections : définition et propriétés des projections associées à deux sous-espaces supplémentaires. Caractérisation des projections

matrice des cofacteurs, associ´e ` A. u e a 21 Chapitre 6 R´duction des endomorphismes e 6.1 Valeurs propres et vecteurs propres Soit E un espace vectoriel sur le corps IK = IR ou C. On d´signe par L(E) l’ensemble des l e endomorphismes de E et par Mn (IK) l’ensemble des matrices carr´es d’ordre n ∈ IN∗ ` e a coefficients dans IK. Sauf mention contraire u d´signera tout au long de ce chapitre un endomorphisme de E. e D´finition 6.1.1 λ est une valeur propre de u, s’il existe x ∈ E − {0E }

anneaux-quotients – Résolution des systèmes de dimension zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 VI.1 VI.2 VI.3 Calcul d’une représentation matricielle des endomorphismes de multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Propriétés des endomorphismes de multiplication . . . . . . . . . . . . . . 378 Calcul des paramétrisations rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 xv VII Exercices . . . . . . . . . . . . .

espace vectoriel des polynômes à coe¢ cients réels et de degré inférieur ou égal à 3. On désigne par f l’ application qui à un polynôme P de E associe le polynôme f (P ) dé…ni par: 8x 2 R : f (P )(x) = P (x + 1) + P (x) 1) Montrer que f est un endomorphisme de E. 2) On nore B la base usuelle de E constituée, dans cet polynômes 1, X, X 2 , X 3 . 0 2 B 0 Montrer que la matrice de f dans la base B est B @ 0 0 3) Montrer que f est bijectif. 4) Calculer la matrice de f 1 ordre des quatre

admet des solutions non nulles, on exprimera celles-ci comme des combinaisons linéaires de solutions fixées. Voir l’application fondamentale. Une application fondamentale. • La recherche de valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice ou d’un endomorphisme (voir chap 5 et 6) conduit à la résolution de systèmes du type ⎧ ⎧ ⎨ a1,1 x + a1,2 y + a1,3 z = lx ⎨ a1,1 − l x + a1,2 y + a1,3 z = 0 ⇔ a2,1 x + a2,2 y + a2,3 z = ly a x + a2,2 − l y + a2,3 z = 0 ⎩ ⎩ 2,1 a3,1 x + a3,2 y + a3,3 z = lz a3,1 x + a3

=λiq(ei) Aussi (q(e1)e1*+…+q(en)en*)(x)=(q(e1)e1*)(x)+ …+(q(en)en*)(x) = λ1q(e1)+…+λnq(en) CCL : E* est engendré par {e1*,…,en*} Remarque : -Dim E*=dim E (dim E ||pF(x)||² si x2≠0 càd x∉F Proposition : Soit E un endomorphisme et e une base de E fixée. Si l’on note e’i=u(ei) i=1…n alors sont équivalente i- u est orthogonal ii- e’ est une base de E et P :=Pass(e,e’) vérifie P-1=tP iii- u est inversible et A :=mat(u,e) vérifie A-1=tA iv- e’ est

978-2-10-053975-8 Table des matières Préface vii Chapitre 1 Compléments d’algèbre linéaire 1 Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables 2 Réduction des endomorphismes 3 Réduction d’une matrice 1 1 7 11 Chapitre 2 Algèbre bilinéaire 1 Produit scalaire 2 Espaces euclidiens 3 Endomorphismes symétriques 24 24 35 43 Chapitre 3 1 2 3 4 Cas des fonctions de signe quelconque 59 59 64 71 77 Éléments de topologie de Rn Rappels sur Rn Distance

si et seulement e si f est injective. 2. D´montrer que ker tf = (imf )⊥ et imtf = (ker f )⊥ . e Exercice 6. On se propose de donner deux d´monstration du e Lemme de Schur. Un endomorphisme u d’un espace vectoriel E de dimension finie qui laisse stable tout hyperplan est une homoth´tie. e 1. Rappel : D´montrer qu’un endomorphisme qui laisse invariante toute droite vectorielle est une e homoth´tie. e 2. Premi`re m´thode. e e a) D´montrer que la transpos´e de u laisse fixe toute droite - donc c’est est

diagonale, c'est dire que l'image du vecteur , de la base est est une homothétie de rapport vecteur quelconque de , s'écrit . Si on restreint à la direction (voir figure ci-après). Si . Son image par est un est : Endomorphisme du plan, de matrice diagonale. Les coefficients diagonaux sont 2 et -1. Les matrices diagonales sont particulièrement simples à manipuler. Voici les propriétés principales : Le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des coefficients