Endomorphisme

16.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 16.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . 16.3 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . 16.4 Applications lin´aires en dimension finie — formule e 16.5 Endomorphismes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . du . . . . . . . . . . . rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 16.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . 16.3 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . 16.4 Applications lin´aires en dimension finie — formule e 16.5 Endomorphismes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . du . . . . . . . . . . . rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 16.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . 16.3 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . 16.4 Applications lin´aires en dimension finie — formule e 16.5 Endomorphismes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . du . . . . . . . . . . . rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . TABLE DES MATIÈRES 7 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 7.1 Matrices et application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Cas de la somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Éléments propres d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Généralités . .

page pr´c´dente a e e Table des mati`res e Aller ` la page suivante→ a CHAPITRE 9. EXERCICES DE COLLES 4. Quel est le meilleur K possible ? Exercice 9.4.102 1. Calculer : 1 . (4n + 1)(4n + 2)(4n + 3) n=1 +∞ 9.4. SEMAINE 4 2. Soit f un endomorphisme de E cyclique (i.e. ∃v ∈ E, (v, f (v), . . . , f n−1 (v)) est une base de E). Montrer que le commutant de f est K[f ]. Exercice 9.4.103 1. Soient (a1 , . . . , ap ) des r´els distincts. Montrer que : e ∃(α1 , . . . , αp ) ∈ Rp , ∀P ∈ Rp [X], 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 30 38 46 51 D Applications linéaires I Définitions et premières propriétés . . . . II Noyau et image d’une application linéaire III Représentation matricielle . . . . . . . . . . IV Endomorphismes induits . . . . . . . . . . . V Projections et symétries vectorielles . . . . VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e 99 26 Int´grales : compl´ments e e 103 ` ALGEBRE 3 108 27 Groupes : g´n´ralit´s e e e 108 28 Anneaux et corps 112 29 Groupes finis 116 30 Groupes quotients 120 31 Espaces euclidiens 122 32 Endomorphismes particuliers 129 33 Polynˆmes d’endomorphismes o 134 34 R´duction d’endomorphismes : diagonalisation e 137 35 R´duction d’endomorphismes : autres r´ductions e e 144 V VI ANALYSE 3 152 36 Fonctions convexes

23 23 23 23 3. Structure de Groupe 3.1. 3.2. 3.3. Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . 10 9 13. Réduction des Endomorphismes 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. Valeurs propres et vecteurs propres . Polynôme caractéristique . . . . . . . Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . . Diagonalisibilité et diagonalisation . . Triangularisation (ou trigonalisation) Puissances

K-e.v. La multiplication matricielle La K-algèbre ( M_n(K) , + , x , . ) - Les sous-algèbres usuelles de M_n(K) Matrice d’une application linéaire - Expression matricielle d’une application linéaire - Matrice carrée d’un endomorphisme – Calcul élémentaire de l’inverse d’une matrice carrée inversible ….. c’est tout pour cette colle Les colles de cette semaine seront ciblées sur : Les matrices en tant que tableaux de scalaires , les opérations et les structures

passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Formules du changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Changement de bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 4) Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Propriétés du rang