Ensemble de définition

Chapitre 1: Généralités sur les fonctions Rappels: 1) Définition: Définir une fonction, c'est associer à chaque réels d'un intervalle donné un réel unique. Notation: est appeler l'image de par est une variable Remarque: Une fonction peut être définie sur une réunion d'intervalles. Ex: la fonction est définie sur Présentation graphique: Le plan est muni d'un repère . Soit une fonction définie sur , une partie . L'ensemble des points tel que et est la

équations linéaires sont de la forme a(x) + b = 0, où a est une application linéaire et b un vecteur. On utilise pour les résoudre des techniques algorithmiques ou géométriques, issues de l'algèbre linéaire ou de l'analyse. Modifier le domaine de définition de la variable peut changer considérablement la nature de l'équation. L'algèbre étudie également les équations diophantiennes, équations dont les coefficients et les solutions sont des entiers. Les techniques utilisées sont différentes et essentiellement

ln(x) = – 7 d’où la solution : e– –3 ; 3 – 7– e 3 ≈ 0,097. 1 b) On obtient successivement ln(3x) = – 1 ; 3x = e– –2, 2 1 – –21 1 – –21 d’où la solution : e ; e ≈ 0,202. 3 3 5 C a) On doit avoir 2x + 1 > 0 c’est-à-dire x > – 1 ; 2 donc l’ensemble de définition de l’équation est l’intervalle 1 – ;+∞ . 2 b) ln(2x + 1) = – 3 équivaut à 2x + 1 = e–3. – 1 + e–3 On obtient 2x = – 1 + e–3 d’où la solution : . 2 – 1 + e–3 À la calculatrice, on obtient ≈ – 0,475 (valeur 2 décimale arrondie à 10–3). b) En utilisant

I. Définition de la fonction exponentielle Soit (E) l'équation différentielle f'(x) = f(x) avec f(0) = 1. On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation. Lemme Si f est une fonction solution de (E), alors pour tout x, f(x) \neq 0. Propriété et définition : Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée \exp. Démonstration : Soit f une fonction solution de (E) et on pose g(x) = f(x)f(- x) g est défini sur \mathbb{R}

qu'est l'ensemble de définition d'une fonction, le tableau de variations d'une fonction et nous allons étudier quelques fonctions qui apparaissent souvent comme la fonction carré et la fonction inverse. Ensemble de définition L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x). Exemples Pour la fonction fonction, ensemble de définition, pour fonction, ensemble de définition et pour fonction, ensemble de définition. (pourquoi) Comment

Les fonctions usuelles (ou de références) On classe dans les fonctions de références la fonction affine, carrée, inverse, racine carrée, cube. La fonction affine Définition : Il s’agit de la fonction définie par ƒ(x) = ax+b appartenant à IR et a et b deux réels Ensemble de définition : ƒ est définie sur IR Représentation graphique  et tableau de variation avec a positif : Tableau de signes avec a positif : x -∞ ∞ ax+b

alors f(x) Î si x Î ]– 4 ; 2[ alors f(x) Î si x Î [– 1 ; 2[ alors f(x) Î si x Î [– 1 ; 4] alors f(x) Î si x Î [– 4 ; 2] alors f(x) Î si x Î [– 3 ; 3] alors f(x) Î Exercice 5 : Soit f la fonction définie par f(x) = 1) Préciser son ensemble de définition Df. 2) On admet que f est croissante sur ]1 ; + ¥[et sur ]– ¥ ; 1[. Soient a et b deux réels tels que 1 < a < b, comparer et . 3) Etudier algébriquement la position relative de Cf par rapport à la droite d'équation y = – 3.

FONCTIONS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. On définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel x de D, un réel et un seul noté f(x) et que l'on appelle l'image de x par f. La fonction est notée f : D →IR x ֏f(x) L'ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction f. On appelle représentation graphique de f, ou courbe représentative de f, l'ensemble ( C) des points M de coordonnées (x ; f(x)) avec x ∈ D L'équation

sa valeur. Suite au dos … Exercice 5: (14 points) Soit la fonction f définie par:[pic]. On notera Cf sa courbe représentative. a) Donnez le domaine de définition de f ( noté [pic]) et son ensemble de dérivabilité. b) Calculez la dérivée de f . c) Etudiez les variations de f sur son domaine de définition. ( Tableau de signes de la dérivée, tableau de variations avec valeurs de f(x) ). d) Déterminez l’équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse 3

la fonction g définie par g (x) = . x–6 a) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g. (C’est l’ensemble des x pour lequel le calcul de g (x) est possible). 1 b) Calculer les images de – 2 et . c) Déterminer le(s) antécédent(s) de 3 et 5 par la fonction g. 3 Exercice 3*. Dans chaque cas, préciser l’ensemble D des valeurs de x pour lesquelles le calcul de f (x) est possible. Cet ensemble est appelé l’ensemble de définition de f. 1 1 a) f (x) = 2 x2 + 1 b) f (x) = +3x c) f (x) = 2x x–1 d) f