Ensemble de définition

dénominateur nul VI 2 : racine d'un nombre négatif On utilise la TABLE de la calculatrice Allure donnée par le GRAPH de la calculatrice Tracé sur feuille à partir des données d'un tableau de valeurs On cherche à résoudre l'équation f(x) = b Domaine de définition de f • • • • Tableau de valeurs de f Tableau de deux lignes : 1ère ligne, des valeurs de x ; 2ème ligne, les images de ces x par f On lit les images sur la courbe (cf. ci-dessus) • Courbe quelconque : on associe les expressions données

− 1 −x + 1 ≤ f( x) ≤ 1°)Démontrer que pour tout x > − on a : 2 2x + 1 2x + 1 2°) En déduire la limite de f en + ∞ . 1 EXERCICE N°11  x +1 −1  si x ≠ 0 Soit f ( x ) =  où a ∈ R x  a si x = 0 1°)Déterminer le domaine de définition de f . 2°)Pour quelle valeur de a, f est continue en 0 . 3°)Préciser suivant a, l’ensemble de continuité de f 4°)Calculer Lim f ( x ) ; Lim (x .f ( x ) + 1 − x ) ; Lim x .f ( x ) x →+∞ x → +∞ x →+∞ EXERCICE N°12 x +1   2 x −

Formulaire de dérivées Dérivées des fonctions usuelles Fonction Dérivée Domaine de définition Domaine de dérivabilité x n , n ∈ N∗ nxn−1 R R R∗ R∗ R∗ R∗ 1 x 1 x2 − 1 , n ∈ N∗ xn − xn , n ∈ Z∗ nxn−1 R si n ≥ 1, R∗ si n ≤ −1 R si n ≥ 1, R∗ si n ≤ −1 √ x 1 √ 2 x [0, +∞[ ]0, +∞[ ex ex R R ln(x) 1 x ]0, +∞[ ]0, +∞[ sin(x) cos(x) R R cos(x) − sin(x) R R tan(x) n xn+1 1 + tan2 (x) = 1 cos2 (x) R\{ π + kπ, k ∈ Z} 2 R\{ π + kπ, k ∈ Z} 2 Dérivées et opérations

tend vers −∞ et lorsque x tend vers +∞ ∀x ∈ R − { 1 } , le signe de f ( x) − ( x + 3) est celui de 5 x −1 la courbe C est au-dessous de ∆ si x < 1 au-dessus de ∆ si x > 1 Exemple Déterminer les asymptotes de f : x a x 2 − 1 + 2 x Le domaine de définition de la fonction est D = ] − ∞ , − 1 [ ∪ ] 1 , + ∞[ • Etude en +∞ Puisque lim ( x 2 − 1) = +∞ et lim (2 x) = +∞ alors d’après le théorème donnant la somme des x →+∞ x →+∞ limites : lim f ( x) = lim  x 2 + 1 + 2 x  = +∞ x →+∞ x →+∞   Déterminons

par Un= 1n2 + 2n2 + … + nn2 converge vers 0. EXERCICE N°2 : (5pts) Soit f la fonction définie par f(x) = xcos(πx2) si x &lt; 0. F(x) = x2(1-x)x2+x-2 si x≥0. 1/Déterminer le domaine de définition de f . 2/ Calculer limx→+∞f(x) et limx→+∞f(x)x et interpréter le résultat graphiquement. 3/ a) Donner un encadrement de f(x) sur ]-∞,0[ et calculer limx→0-f(x). b) Montrer que f est continue en 0. c) Montrer que l’équation f(x)=0 admet

Lundi 23 novembre 2009 Examen trimestriel de mathématiques - 2nde 3h00 - calculatrice interdite Exercice 1 (5 points) 1. 2. 3. 4. 5. 6. Lire le domaine de définition de la fonction f. Donner l’image par f de 0 puis de − 5. Déterminer l’antécédent par f de 3. (faire la phrase du cours) Résoudre f(x)< − 2. (faire la phrase du cours) Dresser le tableau de signes de f. (faire la phrase du cours) Dresser le tableau de variations de f. Exercice 2 (4 points) Calculer les nombres suivants

on a : Exercice 6 : 9   3  x  2 x si x  3  2  x  2x  3 Soit f  x    si  3  x  1 2  9x ax 2  bx  c si x  1    On désigne par Cf sa courbe dans un R.O.N O,i, j   1- Déterminer le domaine de définition de f  x  . 2- Déterminer les réels a et b pour que Cf passe par le point A(1,3) et B(2,7). 3- On pose a  b  1 . a- Calculer limx  f  x  et limx  f  x  b- Etudier la continuité de f en 3 et en 1. Exercice 7 :   2   m

ILe nombre dérivé ALe taux d'accroissement Soit un réel a appartenant au domaine de définition d'une fonction f. Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h le quotient : f(a+h)−f(a)h En posant x=a+h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit : f(x)−f(a)x−a La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième forme)

Série De Revision Parti I Exercice 1: Soit f la fonction définie par ?(?) = 1 √−x²+4x−3 1. Déterminer Df , le domaine de définition de f. 3 2. Calculer l’intégral ∫2 fx. dx Aide : On pourra écrire –x²+4x-3 sous forme canonique puis faire un changement de variable. ∫ Exercice 2 : Calculer la primitive 3x4 +2x²+1 x3 (x2 +1)² dx k4 Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5 Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫

Donc, si α ∈ , il n’existe pas un réel m qui vérifie (∗). ; 2 2 √ √ 1− 5 1+ 5 Conclusion : il existe m tel que α soit une solution de l’équation (E) si et seulement si m ∈ / . ; 2 2 2 √ Résoudre dans R l’inéquation : x − 3 x2 − 2x. Le domaine de définition de cette inéquation est D =] − ∞; 0] ∪ [2; +∞[. Le membre de gauche doit nécessairement être positif puisqu’il est supérieur à une racine carrée. x − 3 0 soit x ∈ [3; +∞[. √ 9 x2 − 2x ⇐⇒ x2 − 6x + 9 x2 − 2x ⇐⇒ 4x − 9 0 ⇐⇒ x . Pour tout x 3, on a