Entier algébrique

Séquence 6 Ensemble des nombres complexes Sommaire Prérequis Définition – Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble qui contient l’ensemble R des nombres réels et dans lequel les carrés peuvent être négatifs. Séquence 6 – MA02 1 © Cned - Académie en ligne 1 Prérequis A Équation du second degré dans » Les nombres a, b et c sont des nombres réels avec a ≠ 0 et x  est un nombre réel. Théorème Tout trinôme

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES Cours 39 POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES I. DEFINITIONS 1. Monôme 2. Polynôme 3. Equation algébrique 4. Zéro d’un polynôme II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES 1. Identité de deux polynômes 2. Addition de deux polynômes 3. Multiplication de deux polynômes 4. Multiplication d'un polynôme par un scalaire 5. Division de deux polynômes suivant les puissances décroissantes (Euclidienne) 6. Division Euclidienne par un polynôme de degré 1 7. Division

Forme algébrique des nombres complexes Partie réelle, partie imaginaire La forme algébrique d'un nombre complexe est a + ib où a et b sont deux réels. Si z = a + ib où a R et b R, a est la partie réelle de z, notée Re(z), et b est la partie imaginaire de z, notée Im(z). La partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe sont des nombres réels. Les réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle. Les imaginaires purs sont les nombres complexes dont la partie

L’équation d’une droite sous la forme GÉNÉRALE Ax + By + C = 0 x représentent la variable indépendante de la fonction linéaire y représentent la variable dépendante de la fonction linéaire A est un nombre naturel (A8N) B est un nombre entier (B8Ζ) C est un nombre entier (C8Ζ) −C L’abscisse à l’origine @ = A −C L’ordonnée à l’origine b = B −A Le taux de variation a= B Remarque A≠a, A≠@, B≠b ______________________________________________________________________________________________ © Mme Gathem Résumer

fonction exponentielle ? Méthodologie | | |Il suffit d’appliquer les propriétés algébriques suivantes : | |

nuls, alors : arg (zz’) = arg (z) + arg (z’) à 2kπ près, avec k entier relatif. Pour tout vecteur non nul d’affixe z on a : arg (z) = () à 2kπ près, avec k entier relatif. a) Soit z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que : arg = arg(z) – arg(z’) à 2kπ près, avec k entier relatif. b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c, on a : à 2kπ près, avec k entier relatif. 2) On considère l’application f de P\ {O} qui, au point

(linéarisation, développement de cos(px) ou sin(px) en fonction de cos x et sinx) - de résoudre des équations polynômiales à coefficients complexes - de déterminer les racines n-ième d’un nombre complexe (sous forme exponentielle) - de déterminer la forme algébrique des racines carrées d’un nombre complexe - de résoudre une équation du second degré à coefficients complexes Plan du chapitre 1. Prérequis Utilisation du cercle trigonométrique Nombres complexes module argument 2. Applications à la trigonométrie

Euler) http://xmaths.free.fr/ TS − Nombres complexes page 1 / 10 Remarque • IN est l'ensemble des entiers naturels. C'est l'ensemble des entiers positifs ou nuls. Dans IN l'équation x + 1 = 0 n'a pas de solution. Cette équation a une solution notée -1 , cette solution est un élément de l'ensemble Z . Z • Z est l'ensemble des entiers relatifs. C'est l'ensemble des entiers positifs, négatifs ou nuls. Z Z contient IN , c'est-à-dire que IN est contenu dans Z , ce que l'on note IN ⊂

met un terme à l’insolubilité de certaines équations algébriques, rencontrées notamment dans la mise en équation de nombreux problèmes de physique ; ainsi Cardan et ses élèves conçoivent des nombres dont le carré peut être négatif, nombres « impossibles » dans l’espace des réels, puisque tout réel multiplié par lui-même est forcément positif, d’où le terme imaginaires. Bien qu’utilisés depuis le XVIIe siècle en tant que symboles algébriques formels, ils ne sont définis et construits qu’au XIXe siècle

forme algébrique et montrer que B appartient au cercle (C) (C) est le cercle de diamètre [IA] donc de centre K milieu de {IA] et de rayon KI = 1/2 IA = 3/2 b = (1 + 4i)/(1 - 2i) =(1 + 4i)(1 + 2i)/(1 - 2i)(1 + 2i) = (1 + 8 i2 + 2i + 4 i )/ (12 -(2i)2) = (- 7 + 6 i)/ 5 KB2 = (-7/5 +1/2)2 + (6/5 - 0)2 = 9/4 donc KB = 3/2 donc K appartient au cercle (C) de centre K et de rayon 3/2 2°) Soit D le point du cercle (C) tel que l'angle(vecteur KI, vecteur KD) = Pi/3 + 2 k Pi où k est un entier relatif