Entier naturel

point) La suite de terme général Un est décroissante, donc elle est majorée par son premier terme U0 qui vaut bien 25. 5. (0,5 point) Pour tout entier naturel n, 25n + 50 − 12,5 ( 2n + 2 ) 25n + 50 − 25n − 25 25n + 50 25 − 12,5 = = = 2n + 2 2n + 2 2n + 2 2n + 2 n ≥ 0 donc 2n ≥ 0 mais aussi 2n+2 ≥ 0 Un-12,5= donc Un-12,5>0 6. (0,5 point) Pour tout entier naturel n, on a démontré que Un-12,5>0 c'est-à-dire que Un>12,5 en d’autres termes, la suite de terme général Un est minorée par 12,5 de plus, d’après

qu’une définition particulière), on peut, au mieux, les justifier. Chapitre 1 Pré-requis admis : la multiplication des réels entre eux, la récurrence sur . Idée intuitive : créer une notation pour indiquer pour x un réel quelconque, et n un entier naturel non nul, qu'on a multiplié x, n fois par lui-même (on comprend bien que multiplier un nombre 0 fois par lui-même n’a pas de sens (1 fois pourrait être discutable, mais en disant « le produit de n facteurs égaux à x », la réserve n’as plus de raison

l’ensemble ℕ ou sur une partie de ℕ. • L’image du naturel n par la suite u se note u(n) ou plus souvent un. TERME GÉNÉRAL L’image d’un entier naturel n par la suite u se note un et s’appelle le terme général de la suite ou terme de rang n. SUITE CROISSANTE Soit u une suite : • la suite u est croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un ⩽ un+1 ; • la suite  u est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, un < un+1. SUITE DÉCROISSANTE Soit u une suite :

d'écrire les nombres dans le système décimal.  Tout nombre  entier en base 10 s'écrit :       où  avec   Système de base b :  Tout nombre  écrit en base  s'écrit dans la base 10 :       où  avec   Pour , on note  les chiffres après le chiffre 9.  Pour passer d'un système à l'autre, il est plus facile de revenir en base 10.  On note  par exemple le nombre  en base 5 qui s'écrit :  en base 10.  Exemple :  Déterminer les entiers naturels  et  tels que   On doit écrire chacun de ces nombres en

Chapitre 1: Introduction au calcul scientifique Plan Calcul numérique approché Sources d’erreur Représentation des entiers Représentation des nombres flottants Calcul numérique approché Introduction: Calcul scientifique Les sciences font régulièrement appel aux mathématiques afin de modéliser les problématiques. Si les mathématiques offrent un cadre formel, riche et puissant, l’ingénieur a la possibilité d’utiliser des logiciels afin de l’aider à résoudre les problèmes. On rencontre, pour résumer

récurrence où l’on définit une loi de passage de un à un+1 ainsi qu’un premier terme u0. Exemple de suite « explicite » Pour tout entier naturel n, un = 1/n. (un) est explicite puisqu’on exprime un en fonction de n. On calculera par exemple u18 en utilisant le nombre 18. un vaut 1/18. Exemple de suite définie par récurrence u0 = 4 et pour tout entier naturel n, un+1 = un/2. (un) est définie par récurrence puisqu’on exprime un en fonction du rang précédent. Pour avoir un+1, il nous faut

Rem. L’ordre d’apparition des quantificateurs dans une assertion est important. L’assertion ∀ x ∈ R+ , ∃n ∈ N; x < n, autrement dit ”Pour tout nombre r´el positif x il existe e un entier naturel n qui lui est strictement sup´rieur” est e VRAIE, alors que ∃ n ∈ N; ∀x ∈ R+ , x < n c’est-`-dire ”il existe un entier naturel n qui est strictement a plus grand que tous les nombres r´els positifs” est FAUSSE. e – Si C est de la forme (∃ x ∈ D, P(x)). Il s’agit d’exhiber un x ∈ D v´rifiant P(x), mais c’est

vérifie bien 0 < u0 ≤ 2 - supposons que l’on a vérifié pour un certain entier n : 0 < un ≤ 2 on multiplie chaque membre par 2 > 0 : 0 < 2un ≤ 4 on utilise le fait que la racine carrée est strictement croissante : 0 < √ 2un ≤ 2 on en déduit 0 < un+1 ≤ 2, ce qui prouve que la propriété est héréditaire - on peut alors conclure que pour tout entier n , 0 < un ≤ 2 b) On démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, un ≤ un+1 - pour n = 0 , on a u0 = 1, u1 = √ 2 ≈ 1, 414 et on vérifie

trace de recherche même non aboutie sera prise en compte. Exercice 7 (Bonus +2) 2 2 2 En vous aidant de l'expression la somme des carrés fait 4 802. ( x−1) + x +( x+1) , déterminer trois entiers naturels consécutifs dont En vous aidant de l'expression 100. 4 x −100 , déterminer un entier naturel dont le carré du double est égal à 2 Exercice 8 (Bonus +1) Calculer le nombre de possibilités pour un mot de passe de 4 caractères où les caractères peuvent être soit une lettre de l'alphabet

24 En regroupant : -- - S =  1 + 3 + … + 9 + (1 + 2 + … + 10)  -- -2 2 2  1 + 9 × 5 -  -- -- 2 2 25 135 - ------------------------------= -------------------------- + ( 1 + 10 ) × 10 = ----- + 55 = -------- . 2 2 2 2 ★ Pour tout entier naturel n : 1 α(n + 1)2 + β(n + 1) + γ = -- (αn 2 + βn + γ) + n 2 + n 2 γ -  ⇔  α – 1 n 2 +  2α + β – 1 n +  α + β + -- = 0 . --   -  2 2 2 Le polynôme étant nul pour tout n, on obtient : α–1 = 0  -2  α = 2   β–1 = 0 ⇔  β = – 6 et P(x)