Entier naturel

suivante, ils sont cinq et ont repéré une rangée de cinq places libres. Combien ont-ils de façons de s’installer ? (c) En déduire le nombre de façons d’arranger n objets à n places. On retiendra que : Si n est un entier naturel non nul, on appelle factorielle n, et on note n!, l’entier naturel : n! = n × (n − 1) × . . . × 2 × 1. 2. Le mois suivant, ils sont quatre mais la salle est pratiquement vide. Ils disposent d’une rangée R, équipée de 12 sièges libres. Combien ont-ils de façons de s’installer (pas

EXERCICES MPSI II. 1) NOTATIONS R. FERRÉOL 13/14 A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME ET 1. : Sommes des puissances p-ièmes des n premiers entiers. n n n n n(n + 1) Posons : an = k= ; bn = k2 ; cn = k3 ; dn = k4 . 2 k=1 k=1 k=1 k=1 n (a) En remarquant que cn+1 = 3 (k + 1) , montrer que cn+1 = cn + 3bn + 3an + n + 1 ; en déduire la valeur de bn . k=0 (b) Montrer de même que dn+1 = dn + 4cn + 6bn + 4an + n + 1 ; en déduire la valeur de cn . 2 n (n + 1) (2n + 1) n(n + 1) ; cn = Rep : bn = 6 2

tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose A(n) = n 4 + 1. L’objet de l’exercice est l’étude des diviseurs premiers de A(n). 1. Quelques résultats a. Étudier la parité de l’entier A(n). b. Montrer que, quel que soit l’entier n, A(n) n’est pas un multiple de 3. c. Montrer que tout entier d diviseur de A(n) est premier avec n. d. Montrer que, pour tout entier d diviseur de A(n) : n8 ≡ 1 mod d . 2. Recherche de critères Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels

9 : Dénombrement Plan de la fiche I - Les listes II - Arrangements III - Permutations IV - Combinaisons V - Binôme de Newton VI - Principe fondamental du dénombrement I - Les listes p-liste E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1). Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts). Exemple On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu (P pour pile et F pour face). Un résultat

Sortie : www.math93.com / www.mathexams.fr k et n sont des nombres entiers naturels. s est un nombre réel. Demander à l’utilisateur la valeur de n. Affecter à s la valeur 0. Pour k allant de 0 à n − 1 | Affecter à s la valeur s + n1 f nk . Fin de boucle. Afficher s. 3/11 Correction Bac S Obligatoire - Métropole - Septembre 2013 On note sn le nombre affiché par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n. 3. a. Justifier que s3 représente

N°3 :(4 points) On considère la suite définie par et pour tout entier naturel , . 1/ Calculer et . est- elle arithmétique ? est-elle géométrique ? Suite au verso ⇒ LYCEE DE SOUSSE PROF : Mer Zaghouani Riadh Devoir de contrôle ANNEE SCOLAIRE : 010/011 DISCIPLINE :MATHEMATIQUES n°6 DUREE : 1 HEURE NIVEAU : 2ème année sciences Date : 28/04/2011 2/ On pose pour tout entier naturel , a) Déterminer pour que la suite premier terme. b) Donner l’expression

5 points Soit (u n ) la suite définie par u0 u n+1 = 1 = u n − ln u n2 + 1 pour tout entier naturel n. Partie A Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x − ln x 2 + 1 . 1. Résoudre dans R l’équation f (x) = x. 2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. En déduire que si x ∈ [0 ; 1] alors f (x) ∈ [0 ; 1]. Partie B 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n 0, u n ∈ [0 ; 1]. 2. Étudier le sens de variation de la suite (u n ). 3. Démontrer que

+ 1 = α. 2 Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = ln(2un ) + 1. On désigne par Γ la courbe d’équation y = ln(2x) + 1 dans un repère orthonormal (O ; i, j). Cette courbe est donnée ci-dessous. y 4 Γ 3 2 1 C j –1 O i 1 2 3 4 5 6 7x –1 –2 –3 a) En utilisant la courbe Γ, construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. b) Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 un u n+1 3. c) Démontrer que la suite (u n ) converge vers

6-périodique. Éléments de solution 1. Si x est le chiffre à ajouter à droite de la chaîne, on n’a que deux possibilités : 9 + x − 4 = 0 ou 9 + x − 4 = 11 et seule la deuxième équation donne une solution acceptable, qui est 6, puisqu’un chiffre est un entier positif compris entre 0 et 9. D’où la chaîne peut-être prolongée en : « 7 5 9 4 6 ». 2. Si on continue on obtient le chaînonze « 7 5 9 4 6 2 7 5 9 4 6 2 . . . ». La chaîne « 7 5 9 4 6 2 » se répète constamment. On sait 2 010 divisible par 6, donc

les grandeurs. Connaissance ou compétence visée : Sujet 1 : Découvrir la notion de masse Sujet 2 : Utiliser la notion de masse Niveau : MS – GS Cycle 2 | CP | CE1 | NOMBRES ET CALCUL | .Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100.Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (tables d’addition).Comparer, ranger, encadrer ces nombres.Ecrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant.Connaître les doubles