Entier naturel

automne, la mousse sur une surface de 50m² et la remplace par du gazon. Pour tout nombre entier naturel n, on note ‫ݑ‬௡ la surface en m² de terrain engazonné au bout de n années, c’est-à-dire à l’automne 2010 + n. On a donc ‫ݑ‬଴ ൌ 1 500. 1. Calculer ‫ݑ‬ଵ . 2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, ‫ݑ‬௡ାଵ ൌ 0,8 ‫ݑ‬௡ ൅ 50. 3. On considère la suite ሺ‫ݒ‬௡ ሻ définie pour tout nombre entier naturel n par : ‫ݒ‬௡ ൌ ‫ݑ‬௡ െ 250. a) Démontrer que la suite ሺ‫ݒ‬௡ ሻ est géométrique. Préciser son

pour tout entier naturel n non nul : 1 • Gn l’´v`nement ≪ le joueur gagne la n-i`me partie ≫ ; e e e • pn la probabilit´ de l’´v`nement Gn ó e e e On a donc p1 = 0, 1. 1. Montrer que p2 = 0, 62. On pourra s’aider d’un arbre pond´r´. e e 2. Le joueur a gagn´ la deuxi`me partie. Calculer la probabilit´ qu’il ait e e e perdu la premi`re. e 3. Calculer la probabilit´ que le joueur gagne au moins une partie sur les e trois premi`res parties. e 3 1 4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul

1. 2000x (1+4,7100)= 2094. 2. Les formules possibles sont = C2*$D$2 et =C2*1,047 3. a. On aura chaque terme qui sera multiplié par 1,047. Donc la suite est géométrique de raison 1,047 et de premier terme U0= 2000. b. Ainsi pour tout entier naturel n, Un=2000x1,047n c. U20= 2000x1,04720=5011,45. Il lui fallait 5000 euros. Donc Alexandre aura l’argent nécessaire. Partie B : 1. 2. a. L’élévation entre les deux points est de : 6189-5220= 969 mètres pour un parcours de 1,6 Km. 9691

L’entier naturel S désigne la somme des diviseurs positifs de p4, où p est un nombre premier plus grand que 2 1. Exprimer S en fonction de p. 2 2 w p: w // w m .e at du hs ca .e m du e r. ca o m rd er .o rg / 04 Points (série C uniquement) 2 2 2. Écrire un équation cartésienne du plan (ABC) 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 1 pt 0,5 pt 2. Démontrer que : (2p + p) < 4S < (2p + p + 2) . 3. On a) b) c) d) suppose que S est un carré parfait et on pose S = n², où n est un entier naturel. Établir

déduit que la suite (bn ) est décroissante. Graphiquement, les deux suites resterons chacune d’un côté de la droite graduée ( ? ?). 4. On a les propriétés suivantes : La suite (an ) est croissante ; La suite (bn ) est décroissante ; Pour tout entier naturel n, on a : an bn Pour que ces deux suites soient adjacentes, il suffit de montrer que : lim bn − vn = 0 n→+∞ 0 2 4 Or, d’après la question 2. , le terme de rang n de la suite (un ) admet l’écriture : 1 n un = 6· 3 BOn en déduit : B0

corrigé ECRICOME 2005 Option Economiquepar Pierre Veuillez 1 EXERCICE On considère, pour tout entier naturel n, l’application 'n dé…nie sur R par : 8x 2 R; x)n e 'n (x) = (1 ainsi que l’intégrale : In = Z 2x 1 'n (x) dx 0 On se propose de démontrer l’existence de trois réels, a, b, c tels que : In = a + b c 1 + 2 + 2 " (n) n n n avec lim " (n) = 0 n!+1 'n étant continue, l’intégrale est bien dé…nie. R1 R1 1 1 e 2x 0 = 21 e 2 + 1 1. On a I0 = 0 '0 (x) dx = 0 e 2x dx = 2 R1 R1 et I1

forme  avec  Exercice 3 Démontrer par récurrence que Exercice 4 Démontrer par récurrence que Exercice 5 Montrer que les deux propositions : sont héréditaires à partir de  Sont-elles vraies pour tout entier  Exercice 6 Démontrer que pour , le produit de  entiers impairs est un entier impair. Exercice 7 Montrer que   Exercice 8 On définit une suite  de la façon suivante : 1. Calculer  pour . 2. Montrer que l'équation  admet une unique solution positive  que l'on calculera. 3. Montrer

arbre un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves identiques et indépendantes. n Pour tout entier k, tel que 0 ≤ k ≤ n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté . k Ce nombre est appelé coefficient binomial. n 0 =1 Remarque/Notation : • se lit « k parmi n ». • Par convention, k 0 Propriété 3 : Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p, alors, pour tout entier k, tel n p k (1− p)n− k que 0 ≤ k ≤ n, p (X = k) = k () () () () Exemple : On a par exemple

un  1; 2 Démonstration par récurrence Soit Pn : 1  un  2 . Montrons que : a) P1 est vraie b) n  1,  Pn  Pn1   Pour a) : Initialisation (pour n  1 ) On a bien 1  u1  2 (Car u1  1 par hypothèse)  Pour b) : Hérédité Soit n  1 un entier naturel vérifiant 1  un  2 Montrons que : 1  un1  2 Donc : f (1)  f (un )  f (2) (Car, d’après le 1°) f est strictement croissante sur  2;  ) Donc : On a : 1  un  2 3  un1  2 Donc : 1  un1  2 (Car : 3  1 ) b) n  1, un  un1

mauvaise presse. * Mise en place des fractions Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable — par exemple une longueur ou une durée — a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des fractions (quotient de deux entiers positifs). Cette solution, mise en place très tôt chez les Sumériens et les Égyptiens, est finalement performante. Elle permet d'approcher une longueur quelconque avec toute la précision souhaitée. La première formalisation construite en système que