Entier naturel

+un = somme des n premiers termes =n 1 n u u 2 http://pernoux.perso.orange.fr c) Exemple concernant la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 : 2+5+8+11+14+17=6× 217 =57 2 d) Exemple « classique » (avec la suite des entiers naturels qui est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1) : 1+2+3+4+5+......+(n-1)+n=n×1+n = n(n1) 22 1+2+3+4+5+......+67+68= 68×69 =2346 e) Remarque : une formule analogue est utilisable pour trouver la somme de termes consécutifs

réalisations de l’expérience est appelé état probabiliste. Il peut être représenté par une matrice ligne Pn = an bn qui traduit la probabilité d’obtenir l’issue A ou l’issue B après n réalisation de l’expérience aléatoire. On a an + bn = 1, pour tout entier naturel n. Page 1/4 2012-2013 Spécialité Mathématiques Term ES REMARQUE : On généralise sans difficulté cette définition à une expérience aléatoire ayant un nombre n fini d’issues possibles (n ≥ 2). Définition 3 Soit G un graphe probabiliste d’ordre

par : U0 = 0 et pour n ∈ N, Un+1 = f (Un ). EA SY -M a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n„ Un ≥ 0. 1 b. Montrer que, pour tout entier naturel n |Un + 1 − α| ≤ |Un − α| . 2 1 c. Et déduire par récurrence, que : |Un − α| ≤ n . 2 d. En déduire que la suite (Un ) converge et donner sa limite. 0,75 pt 0,75 pt 0,5 pt −6 e. Déterminer le plus petit entier n1 tel que ∀n ∈ N, n ≥ n1 =⇒ |Un − α| < 10 . 2 0,5 pt 0,5 pt 

définies pour tout entier naturel n par :    a0= 20 b0 = 60 et, pour tout entier naturel n, a  b 2an + bn 4 an + 2bn n+1 = 4 n+1 = 1. En utilisant un tableur ou une calculatrice, calculer les 50 premiers termes des suites (an) et (bn). 2. Peut-on penser que ces suites sont convergentes et quelle conjecture peut-on formuler quant à la limite de la suite (an) et à celle de la suite (bn) ? 3. Soient (un) et (vn) les suites définies, pour tout entier naturel n, par : un = an +

point appartenant à E 5 dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0). On suppose qu’il existe un point M appartenant à E 5 et dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels. 1. Montrer que si x = 0, alors le point M est le point O. 2. On suppose dorénavant que l’entier x n’est pas nul. a. Montrer que les entiers x, y et z vérifient x 2 − 3x y + y 2 = 0. En déduire qu’il existe alors des entiers naturels x ′ et y ′ premiers entre eux tels que x ′2 − 3x ′

par la relation : Sn = n(v0 + vn−1 ) 2 d1 = u2 − u1 = 45 − 21 = 24 d2 = u3 − u2 = 77 − 45 = 32 et, pour tout entier n 1, un = 1+ 2 n un−1 + 6 n Dans ce cas on a v0 = 16 et vn−1 = v0 + 8(n − 1) = 16 + 8n − 8 = 8n + 8. L’application de la relation rappelée ci-dessus donne : n(16 + 8n + 8) n(8n + 24) 8n2 + 24n Sn = = = = 4n2 + 12n 2 2 2 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un = 4n2 + 12n + 5 . www.bac-de-maths.fr - Le partenaire de votre réussite ! Bac S de maths

IN par   Un+1 = 3 Un + 4 1-a) Montrer que (Un) est majorée par 4 b) Montrer que (Un) est strictement croissante c) En déduire que (U n) converge et déterminer sa limite 2-a) Montrer que pour tout entier naturel n ,on a: 1 4 – Un+1 ≤ ( 4 – Un ) 2  U0 = 0 b) En déduire que ,pour tout entier naturel n, on a: 1 4 – Un ≤   × ( 4 – U0 ) 2 c) Retrouver alors le résultat de la question 1 -c) . n Exercice n° 2 ( 5 points)   → → Dans le plan complexe ( ) muni d' un repére orthonormé direct

∈ I, h(x) ∈ I et h(x) f (x) g(x) donc α f(x) ∈ I. f) On vient de démontrer le théorème « des gendarmes » pour les fonctions. b) Avec u0 = 1, il semble que lim un = – ∞. n→+∞ Avec u0 = 6, il semble que lim un = + ∞. n→+∞ 2. a) Pour tout entier n, vn+1 = un+1 – 3 = 2un – 3 – 3 = 2vn. Donc la suite v est géométrique de raison q = 2. b) v0 = u0 – 3 vn = v0qn = (u0 – 3) × 2n. c) lim 2n = + ∞ car 2 > 1. n→+∞ 3.3 Limites et composées 1. a) Pour tout réel x > – 1. g[f(x)] = g 4x + 5 = 4x

la boucle lorsque F1(x) у k. b) x 0 1 2 3 4 F1(x) 7 14 25 40 59 La valeur affichée par le programme est x = 4. c) k étant donné, le programme affiche le premier entier naturel x pour lequel F1(x) у k. Par exemple, pour k = 50, x = 4 est le premier entier naturel pour lequel F(x) у 50. d) On saisit le programme à l’ordinateur ou à la calculatrice. On obtient : – pour k = 100, x = 6 ; – pour k = 500, x = 15 ; – pour k = 1 000, x = 22. a) Avec AlgoBox

comparer deux suites taux équivalent, taux proportionnel géométriques, une suite géométrique et une suite arithmétique. 1. Rappels de 1ère STMG 1.1) Définitions Une suite numérique est une liste de nombres réels « numérotés » avec les nombres entiers naturels en commençant soit à partir de 0 ; soit à partir de 1, ou de 2. La suite se note : (un). Le nombre un s'appelle le terme de rang n ou le terme d'indice n ou encore le terme général de la suite. Pour n = 0, u0 s'appelle le premier terme ou le