Entier naturel

propriété de Thalès pour justifier que x = ab Construction d’un segment de longueur 1/a avec a la longueur d’un segment constructible. La justification utilise toujours le théorème de Thalès Construction d’un segment de longueur n avec n un entier naturel Par exemple ici on construit un segment de longueur 3 Pour cela on utilise la propriété de Pythagore dans les triangles rectangles On construit un premier triangle rectangle ayant les côtés de l’angle droit de mesure 1, alors l‘hypoténuse

= −1. 2 + 5 + 3 2 − 5 = 1. DEVOIR-MAISON N°3 A Partie A Soit ABC un triangle. On note H le pied de la hauteur issue de A. 13 15 h=? B H 14 C On donne AB = 13, BC = 14 et AC = 15. Calculer AH. Partie B Trouver tous les entiers naturels x non nuls tels que le triangle ABC ait les caractéristiques ci-dessous : AH = x, AB = x + 1, BC = x + 2 et AC = x + 3 x+1 A x+3 x H x+2 C B DEVOIR-MAISON N°3 : CORRIGÉ Partie A Notons h = AH, b = BH et c = CH. D'après le

. 3 3 Avec xA = 2, yA = 3, xB = - 4 et yB = 1, on obtient : a = - 2, b = 6 et c = - 14. Thème 2 : La structure alternative ou test 3 4 6 5 10 6 15 7 21 8 28 9 36 10 45 3. b) u100 = 4 950 et u2012 = 2 023 066. 6 1. a) Tant que le nombre entier aléatoire obtenu est différent de 6, on ajoute 1 au compteur. Non, on ne peut pas prévoir le nombre de passage dans cette boucle. b) La variable a est initialisée à 0 au début puisqu’on n’a pas encore simulé le lancer du dé. 1. a) 0 ou 1. 1 b) 0

Devoir Libre n◦ 2 PSI MATHEMATIQUES (` rendre le 16 septembre 2011) a Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C) et u un endomorphisme de E. On d´signe par keru le noyau de u et Imu l’image de u. e Pour tout entier k strictement positif, uk d´signe l’endomorphisme u ◦ u ◦ u · · · ◦ u (k e fois) et u0 d´signe l’application identique de E. e PREMIERE PARTIE ADans cette partie, E d´signe un espace vectoriel sur R dont une base est B = (e1 , e2 , e3 , e4 ). e Soit u l’endomorphisme de E tel que

nuls, alors : arg (zz’) = arg (z) + arg (z’) à 2kπ près, avec k entier relatif. Pour tout vecteur non nul d’affixe z on a : arg (z) = () à 2kπ près, avec k entier relatif. a) Soit z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que : arg = arg(z) – arg(z’) à 2kπ près, avec k entier relatif. b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c, on a : à 2kπ près, avec k entier relatif. 2) On considère l’application f de P\ {O} qui, au point

 Exercice 1 : (…… points) Liban, Juin 2000 Partie A - Étude d’une suite On considère la suite (un) définie par u0 = 900 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,6 un + 200. 1. Calculer u1 et u2. 2. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − 500. a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. b. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un = 400 x (0,6)n + 500. c. Déterminer la limite de la suite (un)

Devoir a la maison n°3 ` Correction ⊲ Exercice 1 Inégalité de Bernoulli Démontrer que pour tout entier naturel n et tout réel x > −1, on a (1 + x)n 1 + nx. Soit x ∈ ]−1 ; +∞[, montrons par récurrence sur n ∈ l’hypothèse de récurrence Hn : Pour tout n ∈ , (1 + x)n 1 + nx. x Initialisation : Montrons que H0 est vraie. On a (1 + x)0 = 1 et 1 + 0 × x = 1 donc (1 + x)0 1 + n0 × x et H0 est bien vraie. y Hérédité : Soit n ∈ , on suppose que l"hypothèse de récurrence est vraie jusqu’au rang n. On

reçue ou un préjugé comme certitude. Puis, en nous appuyant sur les faiblesses de cette thèse, nous expliquerons que se rendre à l'évidence n'est pas forcément synonyme d'abdication de la raison : la vérité s'impose parfois comme quelque chose de naturel, et c'est la raison qui "fait le travail de discernement entre le vrai et le faux". Enfin, en nous fondant sur les insuffisances de cette seconde partie, nous montrerons que se rendre à l'évidence peut aussi supposer l'utilisation préalable de la

0,917 b. Plus généralement, pour un entier N saisi par l’utilisateur, l’algorithme affichera uN et v N . 3. a. Soit n ∈ N, alors : AX n = 1 2 1 3 1 2 2 3 un = vn u n +v n 2 u n +2v n 3 = X n+1 . b. Démontrons par récurrence que, pour tout n ∈ N, X n = An X 0 . • Pour n = 0, on a A0 X 0 = I2 X 0 = X 0 (ou I2 désigne la matrice identité d’ordre 2), donc la propriété est vraie pour n = 0 • Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel n : X n = An X 0 , alors : AX n = AAn

de fraction) PARTIE B Un autre jour, 2n billets sont mis en vente (n est un entier naturel non nul). Xavier achète deux billets. 1. Démontrer que la probabilité pn qu'il achète au moins un billet gagnant est : pn = 3n − 1 4n − 2 2. Calculer p1 et expliquer le résultat. 3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : 3 < pn 4 ✁ 1 PARTIE C Tous les jours, 2n billets sont mis en vente (n est un entier naturel non nul). Xavier revient chaque jour, pendant 3 jours, acheter deux billets. 1