Entier naturel

programmables et alphanum´riques sont autoris´es, sous r´serve des conditions e e e d´finies dans la circulaire n◦ 99-186 du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈ N, un+1 = un ◦ u. On note Kn [X] la K-alg`bre des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, Mn (K) la K-alg`bre e o e e e a e des matrices carr´es de taille n `

suivants : Pour tous réels et  : . Si pour tout , alors . Montrer que : si pour tout , alors . et sont deux fonctions continues sur un intervalle donc est continue sur . Pour tout de donc donc et donc soit . Partie B Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction définie sur par et on pose . On note Cn la courbe représentative de dans un repère orthonormal . 1. a. Déterminer la limite de en . Pour tout de . Soit ; or donc . b. Étudier les variations de

SUITES NUMERIQUES I. Le raisonnement par récurrence 1. Pourquoi un tel raisonnement ? Soitla propriété «est un multiple de» Comme, alorsest vraie. De même, doncest vraie et, doncest vraie. Maisest-elle vraie pour tout entier naturel? Pour le vérifier, il faudrait procéder à une infinité de vérifications, ce qui est impossible. Le raisonnement par récurrence permet de conclure en deux étapes. L'idée du raisonnement par récurrence peut être imagée ainsi : Si l'on peut se placer sur le barreau

nombres sont divisibles par, respectivement, 11 5 et 11 16 . Soient x et y tels que xy 16 + yx 16 ait un sens. Montrer que xy 16 + yx 16 est divisible par 11 16 . Exercice 3 (3 points) Soit b un entier naturel supérieur ou égal à 7. Exprimer 1221 b et 611 ( 2b ) en fonction de b. Déterminer les entiers b tels que : 1221 b = 611 ( 2b ) . Exercice 4 (5 points) Les deux questions sont indépendantes. a) Ecrire 2006 en base 2. b) Ecrire 2006 comme une somme de puissance de 2. On dispose d’une balance

arithmétique a. Définition par récurrence r = raison n = entier naturel Suite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante. La différence est la raison. b. Terme général Uo = premier terme de la suite p et m = entiers naturels Sommes des premiers entiers consécutifs : II – Suite géométrique a. Définition par récurrence q = raison n = entier naturel b. Terme général c. Somme de termes consécutifs

[pic] , [pic] , [pic] Théorème  |[pic] et [pic] ; [pic] ou bien [pic] . | 4/Cardinal d’un ensemble fini  Définition  Soit E un ensemble fini contenant n éléments avec[pic], l’entier naturel non nul n s’appelle cardinal de E . On note[pic]. On convient de poser[pic]. Propriétés  Soit E et F deux ensembles finis : 1) Si [pic] , [pic] 2) D’une façon générale [pic] . 5/Notion de p-uplet  a)Produit cartésien : Soit E et F deux ensembles

exercices ci-après sont indépendants les uns des autres, concernent différents thèmes et peunt être abordés dans un ordre quelconque. L'usage des calculatrices n'est pas autorisé. 1. Résoudrel'équation JX+1- JX=T = 1. , . 1 1 1 1 (a, b, c) d entiers naturels non nuls, tels que - = 2' + b2 + 2"' 4 a c 2. Déterminer tous les triplets 3. Thouver le plus petit réel k > a tel que (a+b+c)2 :::; k(a2+b2+c2) pour tout triplet (a, b, c) E ]R3. 4. Soit z un nombre complexe de module 1. Montrer

cinquième de ces axiomes a pour énoncé : « par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite ». Un autre exemple d’axiomes est fourni par les (cinq) axiomes de Peano. Ceux-ci définissent l’ensemble des entiers naturels. Le cinquième axiome affirme que : « si P est une partie de N contenant 0 et telle que le successeur de chaque élément de c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr P est dans P (le successeur de n

Comportement global d'une suite Monotonie d'une suite Dénition 1 • On dit qu'une suite (un )n∈N est croissante si et seulement si pour tout entier n ∈ N, un+1 ≥ un • On dit qu'une suite (un ) est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier n ∈ N, un+1 < un • On dit que la suite u est constante si et seulement si pour tout entier n ∈ N, un+1 = un • Une suite est dite monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante. Remarque : pour étudier le sens de variation d'une suite

1. L’ pour la 2ème année pour la 3ème année 2. a) donc est géométrique de raison et de 1er terme et on a donc pour tout entier naturel n : b) On en déduit que la suite Donc pour tout n, c) alors d) est géométrique de raison donc elle converge vers 0 et est convergente. î est constante donc par différence, est constante égale à donc pour tout entier naturel n, La population de libellules va donc ’ nombre. Exercice VIII : 1. a) ’ è è 6 000 individus sans dépasser ce donc On