Entier naturel

arguments publicitaires font évoluer cette répartition : 10 % des personnes préférant Aurore et 15 % des personnes préférant Boréale changent d’avis d’une semaine sur l’autre. La semaine du début de la campagne est notée semaine 0. Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste de la semaine n est défini par la matrice ligne Pn = (an bn), où an désigne la probabilité qu’une personne interrogée au hasard préfère Aurore la semaine n et bn la probabilité que cette personne préfère Boréale la semaine

pn +1 = 0,5 pn + 0,4 , pour tout entier naturel n 4) a) dans cette question, nous devons calculer p2 , p3 , p4 , p5 p0 = 0,9 p1 = 0,85 p2 = 0,5 p1 + 0,4 = 0,825 p3 = 0,5 p2 + 0,4 = 0,8125 p4 = 0,80625 p5 = 0,803125 b) D’après les calculs précédents, quand n augmente, les réels pn semblent décroître et se rapprocher de 0,8. Il semblerait donc que la suite ( pn ) soit décroissante et ait pour limite 0,8. 5) Soit la suite ( un ) définie par : Pour tout entier naturel n, un = pn - 0,8 a) un +1 = pn

calculatrice , à partir de quelle valeur de n l’intensité du son devient inférieure à 25 dB , c’est – à – dire un bruit de chuchotement . 4. On considère l’algorithme suivant : Entrée introduire un entier naturel non nul n Initialisation affecter la valeur 100 à U k entier naturel Traitement Pour k allant de 1 jusque n affecter la valeur 0 ,9  U à U fin du pour Sortie Afficher U. a. Faire fonctionner l’algorithme pour n = 4 . Pour cela , compléter le tableau suivant

pour tout entier n, xn0, on en déduit que : xn ln(x + 1) x n + 1 ln(x + 1) Par intégration sur [0 ; 1] on en déduit que : ou bien : un u n + 1 Donc la suite (un) est décroissante sur N. La suite (un) converge-t-elle ? Comme, pour tout entier n, x n ln(x + 1) 0, on en déduit que 0 ou bien u n 0. Finalement la suite (un) est minorée par 0 et décroissante donc elle est convergente. 2) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul

12 4. L'équation cosx= 3 a pour ensemble de solutions : 2  π π  π π π       - ;  - ;    6 6 3 3         6  π 5π    ;  6 6    Exercice 2. u 0 = 4  . On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :  1 u n+1 = u n − 2  3  1. Calculer u1, u2 et u3. Cette suite est-elle arithmétique ? Cette suite est-elle géométrique ? Justifier ! 1 2. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé les droites d'équations respectives y = x et y = x – 2

DIVISEURS  COMMUNS  A  DEUX  ENTIERS,  PGCD     I)  Définition  et  méthode   PGCD  :  Le  PGCD  de  deux  nombres  entiers  naturels,  est  le  plus  grand  diviseur   commun  de  ces  deux  nombres.   Il  y  a  3  méthodes  utilisées  pour  trouver  ce  dernier.   Méthode  1:  Les  diviseurs     1. Etablir  la  liste  des  diviseurs  des

CE1 Le sujet qui nous est demandé de traiter est : nommer, écrire les nombres en CE1. Le CE1 appartient au cycle des apprentissages fondamentaux, en fin d’année, les élèves doivent être capable d’écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1000. Cette compétence fait partie du domaine : nombre et calcul des programmes. Au début du cycle 2 les élèves connaissent beaucoup plus loin la suite orale que la suite chiffrée (au moins 30 contre 10 environ). Mais notre numération

les cas 0 < x < 1 et x > 1. 2. On définit une suite (u n )n∈N par son premier terme u 0 élement de [1,2] et pour tout entier ln u n + 1. naturel n, u n+1 = un ≤ 1. x b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n appartient à [1,2]. a. Démontrer, pour tout réel x élément de [1,2], la double inégalité 0 ≤ 2 ln x 3. En remarquant que, pour tout entier naturel n, u n+1 = f (u n ) + u n , déterminer le sens de variation de la suite (u n ). 4. a. Montrer que la suite (u n )n∈N est

Ã(n) : un = wn · La propriété Ã est initialisée (au rang 0) d'après la question 1.b) · Soit n un certain entier et supposons Ã(n). On a alors : un+1 = 1 Ã( n ) 1 1 n +1 n +1 = = = = = wn+1 n 2 - un 2 - wn 2 2(n + 1) - n n + 2 n +1 1 2 2 3 3 4 D'où Ã(n + 1). La propriété Ã est donc héréditaire. Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit que la propriété Ã est vraie pour tout entier n. C'est-à-dire, pour tout n Î  : 2. a) On a : v1 + v2 + v3 = ln un = wn 1 1 2 3 1 2 3 + ln + ln = ln

EXERCICE N°1 : Soit n un entier naturel non nul, on pose In=[pic][pic]. 1/ a) A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1. b) Montrer que,[pic]. c) En déduire la limite de In quand n tend vers[pic]. d) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que[pic]. 2/ On considère la suite (Un) définie sur[pic]par u1=0 et[pic]. a) Montrer par reccurence que[pic]. b) En déduire la limite de un quand n tend vers[pic]. EXERCICE N°2 : On considère la suite (Un) définie sur[pic]