Entier naturel

I+1 Fin tant que Donner à I la valeur I-1 Afficher I Correction exercice 2 Algorithme de l'exercice 3 Exercice 3: Voici un algorithme: Lire N (entier naturel) Mettre N dans u Tant que u11 faire calculer u-11 et mettre le résultat dans u fin tant que Afficher u 1. Faire fonctionner cet algorithme lorsque N =35 puis lorsque N =55 2. Pour un entier naturel quelconque, quel lien existe-t-il entre le nombre N lu en entrée et le nombre u affiché en sortie ? Remarque: le nombre de répétitions dépend

2 0 π 2. Calculer les intégrales suivantes J = Exercice 4: Pour tout entier naturel n, on pose I n = 0 e 2x − 2e x (e x − 3) 2 ex cos(nx) dx. 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, cos(nπ) = (−1)n et que sin(nπ) = 0. 2. A l’aide de deux intégrations par parties, montrer que : I n = 3. Montrer que, pour tout entier naturel |I n | Exercice 5: π 4 um 1 + n2 eπ + 1 dx 0 On pose, pour tout entier naturel n : I n = 1. (a) Justifier l’existence de I n . cos2n+1 x (b) Montrer

gain * nombre de partie D’où 0,48 * 214 = 102,7 Or étant donné que c’est des chances le nombre obtenu doit être un entier naturel, donc on arrondi au supérieur. Conclusion, Fabrice peut espérer gagner 103 fois sur 214 en moyenne. 3) a) A l’aide du tableur on trouve que le plus petit entier a tel que P(X ≤ a)>0,025 : a=88 b) A l’aide tu tableur on trouve que le plus petit entier b tel que P(X ≤ b)>0,975 : b=117 4) On cherche l’intervalle de fluctuation à 95% d’une fréquence correspondant

1 f ’(x) = 2x f ’(x) = 3x2 f(x) = xn f ’(x) = nxn – 1 Validité k nombre réel constant ; x∈r x∈r x∈r x∈r n entier naturel supérieur ou égal à2; x∈r Fonction 1 f(x) = x 1 f(x) = 2 x 1 f(x) = n x Dérivée 1 f ’(x) = – 2 x 2 f ’(x) = – 3 x n f ’(x) = – n+1 x f(x) = x f ’(x) = 1 2 x Validité x ∈ r* x ∈ r* n entier naturel non nul x ∈ r* x ∈ ]0 ; +∞ ∞[ pourtant f est définie pour x ∈ [0;+∞[ Opérations et dérivées u et v sont des fonctions

g(m) = m. (e) Montrer que si x appartient à [1; 2] alors g(x) appartient à [1; 2] et 1 jg(x) mj jx mj 2 (f) On considère la suite (un ) dé…nie par u0 = 1 et pour n > 0 par un = g(un 1 ). 1 n Montrer que jun mj 2 1 (g) Déterminer un entier n tel que un soit une valeur approchée de m à 10 2 près. 5. On revient maintenant au cas général et on suppose que la variable X admet une espérance E(X) et une variance V (X). On note toujours m la médiane de X. (a) Montrer qu’ a les inégalités

125 ÷ 2 = 62,5 et les derniers chiffres du nombre suivant seront 625. • Énigme ✱ ✱ A B 1 a) Affirmation fausse : 2 × 2n = 2n + 1 et 4n = (2 × 2)n. b) n désigne un nombre entier naturel, n n -1 n -1 Ê 3ˆ 4 Ê 3ˆ 4 3 Ê 3ˆ ¥Á ˜ = ¥ ¥Á ˜ = 2¥Á ˜ Ë 2¯ 3 Ë 2¯ 3 2 Ë 2¯ L’affirmation est donc vraie pour tout nombre entier naturel n. 2 a) Pour n = 0, n2 – 5n +1 = 1  0. Pour n = 1, n2 – 5n +1 = −3  0. Pour n = 2, n2 – 5n +1 = −5  0. L’affirmation est vraie pour n = 1 et n = 2 b) Pour n = 0, 5n − 4n

Classe: EXERCICE: 1 ( 4pts) -1- vérifier que pour tout entier naturel n, n  25 21 =1+ n4 n4 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… -2- comment choisir l'entier naturel n pour que : n  25 n4  …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… EXERCICE: 2 ( 3pts) en divisant l'entier naturel x par 11 on obtient un quotient b et un reste 5 et on

graphiquement la suite (Pn). Exercice 2 On définit une suite (un) par : un = 17 243 − 8n pour tout entier n. On a par exemple, en remplaçant n par 10 : u10 = 17 243 − 8 x 10 = 17 163. 1. Calculer u0 ; u1 ; u1990 ; u1991 ; u1992. 2. Calculer u1 − u0 ; u1991 − u1990 ; u1992 − u1991. 3. En remplaçant n par n+1 dans l'expression de un montrer que pour tout entier n : un+1 = 17 235 − 8n. En déduire que, pour tout entier n : un+1 − un = −8. 4. En utilisant la relation un+1 − un = −8, c'est-à-dire un+1 = un − 8

DM 2 SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e TS 1. Factorielle d'un entier naturel. Soit n ∈ . On appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par : n! = 1 × 2 × 3 × ... × n si n Par exemple, 3! = 1 × 2 × 3 = 6. Le but de cette première partie est de se familiariser avec les factorielles. (Les quatre questions sont indépendantes) a. Calculer 4!, 5! et 6!. Démontrer que 6! × 7! = 10! (sans calculer 10! et sans utiliser de calculatrice) b. Simplifier 1 et 0! = 1 (n + 1)! . n! *

h Suites : /20 Fonctions : /40 1 Suites (20 points) Partie A – Etude d'une suite On considère la suite ( Un) définie par U0 = 900 et, pour tout entier naturel n : Un+1 = 0,6 Un+200 1. Calculer U1 et U2. Cette suite est-elle d’une nature connue ? 2. On considère la suite ( Vn) définie, pour tout entier naturel n, par : Vn = Un – 500 a) Exprimez Vn+1 en fonction de Vn. b) Quelle est la nature de la suite (Vn) ? Donner son premier terme et sa raison. c) Exprimer Vn en fonction