Entier naturel

CANDIDATS Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.  On note  le capital du client au 1er janvier de l'année , où  est un entier naturel.  1. Calculer  et . Arrondir les résultats au centime d'euro.  2. Exprimer  en fonction de . En déduire que, pour tout nombre entier naturel , on a la relation : . 3. On donne l'algorithme suivant :   Entrée      Saisir un nombre  supérieur à 3 000   Traitement      Affecter à  la valeur 0. (Initialisation) 

est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total de la population (les fréquences sont comprises entre 0 et 1, leur somme est égal à 1, souvent exprimé en %). III. Série quantitative Soient n et p deux entier naturels non nuls et i un entier naturel compris entre 1 et p. On appelle série quantitatives discrète une liste de n réels : ce sont les valeurs d’un caractère pour chacun des individus composant l’échantillon, d’effectif total n (On note xi les valeurs du caractère

fonction de leur position dans l’écriture des nombres. * Progressions  Cycle 2 : Connaître la suite des nombres : écrire, nommer, comparer, encadrer, ranger. CP : les nombres entiers naturels inférieurs à 100  CE1 : les nombres entiers naturels inférieurs à 1000 Cycle 3 : Les nombres entiers naturels : - principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture des nombres ; - désignation orale et écriture en chiffres et en

nous noterons n! le produit 1 ´ 2 ´ 3 ´ ... ´ n, ce produit s'appelle "factorielle n". On convient que 0! = 1. Exercices sur les factorielles : · Démontrer que 6! ´ 7! = 10! (sans calculer 10!) (n + 1)! n! · Démontrer que tout entier k : · Simplifier Puis que pour tout entier n non nul : (k + 1)! - k! = k ´ k! n! = 1 + å kk ! k =0 n -1 1. Principes de base du dénombrement On rappelle que le cardinal d'un ensemble fini E, noté Card(E), représente son nombre d'éléments. Par exemple avec

de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Exercice 1 Dans cet exercice, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne par I la matrice unité de Mn(IR). 1) On note tr l’application linéaire qui à toute matrice de Mn(IR) associe sa trace, c’est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux. a) Montrer que Im tr = IR. b) En déduire

Prénom : Classe: EXERCICE: 1 ( 4pts) -1- vérifier que pour tout entier naturel n, n  25 21 =1+ n4 n4 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… -2- comment choisir l'entier naturel n pour que : n  25 n4  …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… EXERCICE: 2 ( 3pts) en divisant l'entier naturel x par 11 on obtient un quotient b et un reste 5 et on le divisant

1 Suites Définir une suite numérique (Un), c'est associer à chaque entier naturel n, un nombre réel Un. On étudie tout particulièrement les suites de base que sont les suites arithmétiques et géométriques car leurs applications économiques sont nombreuses : progression d'une population à taux constant, valeur acquise d'un placement à intérêts simples ou à intérêts composés pour une période donnée, etc. Des formules permettent de calculer directement la somme de leurs premiers termes.

plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme ceci: Théorème 1 — Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que: xn+ yn= zn,dès que n est un entier strictement supérieur à 2. Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par la mathématicien britannique Andrew Wiles en

manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,4. On suppose qu’au premier lancer, elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note : ܽ௡ la probabilité qu’Alice atteigne la cible au n-ième lancer ; ܾ௡ la probabilité qu’Alice manque la cible au n-ième lancer ; ܲ௡ ൌ ሺܽ௡ ܾ௡ ሻ la matrice ligne traduisant l’état probabiliste au n-ième lancer. 1

r appelé raison de la suite (an )n∈N tel que, pour tout n entier naturel: an+1 = an + r. * si r < 0 alors la suite est décroissante * si r = 0 alors la suite est constante * si r > 0 alors la suite est croissante 3 Propriétés. a) lien entre les termes et le premier. an = a1 + (n − 1) r * si a1 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel non nul : an = a0 + n r * si a0 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel : b) somme S des termes d’une progression arithmétique: (nbre