Entier naturel

sur V par : vn = – 3n + 4. Ecrire en fonction de n : a. vn+1 b. vn + 1 c. v2n d. 2 vn e. vn – 1 Les suies arithmétiques Exercice n°4 La suite arithmétique (un) est définie par u0 = 7 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un + 4. 1. Calculer, u1, u2, u3 et u4. 2. Pour tout entier n de V, exprimer un en fonction de n. 3. Calculer u10 et u20. 4. Déterminer le sens de variation de (un). Exercice n°5 1. La population d’une ville, qui était de 15 000 habitants en 2001, baisse depuis

cinquième de ces axiomes a pour énoncé : « par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite ». Un autre exemple d’axiomes est fourni par les (cinq) axiomes de Peano. Ceux-ci définissent l’ensemble des entiers naturels. Le cinquième axiome affirme que : « si P est une partie de N contenant 0 et telle que le successeur de chaque élément de c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr P est dans P (le successeur de n

:: array) return(nops(convert(a,list))); end; 1. Écrire une fonction genere qui génère un tableau aléatoire de n valeurs entières comprises entre 1 et 400 (fonction Maple utile : rand ). 2. Écrire une fonction plusgrand qui retourne le plus grand entier contenu dans un tableau 3. Écrire une fonction indiceplusgd qui retourne l’indice de l’élément qui correspond au plus grand élément dans un tableau. 4. Écrire une fonction moyenne qui calcule la valeur moyenne d’un tableau. 5. Écrire une fonction

2 Sens de variation et convergence * 3 Somme des termes * 4 Voir aussi Terme général Si (E, +) est un groupe — ou même seulement un ensemble muni d'une loi associative — et si est une suite arithmétique de E de raison r alors, pour tout entier naturel n : Plus généralement, si la suite n'est définie qu'à partir de l'indice n₀ et si n ≥ p ≥ n₀ alors : Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme un₀ et de sa raison r. Réciproquement, une suite définie

Indication : Réponse : Résoudre voir page 11 voir page 12 voir page 11 voir page 12 Pour réels et un entier naturel non nul, factoriser Exercice 9. 2 Factorisations Identités remarquables. Réponse : voir page 12 pour réel (ou complexe) si si Somme des termes d'une suite géométrique : où sont trois nombres réels ou complexes. pour réels (ou complexes) et un entier naturel non nul : Factorisation Il n'y a pas de coecients binômiaux dans la formule ci-dessus ! Exercice

**** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ 1, n / j=i Fj ⊂ Fi ). no 3 (** I) : E = Kn où K est

Exercice On considère la suite numérique u(n) définie sur N par son origine u(0) = 1 et son terme général u(n+1) = au(n) + bn + c, où a, b et c sont des nombres réels, a  0. A partir de u(n) on définit la suite v(n) par : v(n) = u(n) + n + , pour n entier  0, ,  et  étant des nombres réels,   0. 1) Quelles conditions doivent vérifier les paramètres a, b, c, ,  et  pour que la suite v(n) soit une suite géométrique ? 2) On donne pour toute la suite de l’exercice : a = 1/3, b = 1, c = - 1, 

Interpréter géométriquement le module et un argument de b. Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2). 4. a. Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution dans C de l'équation I n 3 z 2 , où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle . 2 z 1 2 z 2 b. Résoudre alors dans C l'équation (3) :  I . z 1 On cherchera les solutions sous forme algébrique. Exercice 1 (5 points) pour les élèves ayant choisi spécialité Mathématiques Les

2 3 3 3 3 n+1 2 Et donc un+1 ≤   2 3 La propriété est vraie au rang n + 1. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang n , elle reste vraie au rang suivant. n 2 Par conséquent, pour tout entier naturel n, un ≤   2 3 n 2 2 -1 < < 1 donc lim   2 = 0 3 n → -∞ 3 De plus un > 0. D’après le théorème des gendarmes lim un = 0. bn = n → +∞ c. un = |zn| = |an + ibn| = an2 + bn2 ≥ an2 donc un ≥ |an| > 0 Or lim un = 0. n → +∞

que pour tout entier naturel n, f ( n + 1 ) ≤ un ≤ f ( n ) . c. En déduire que la suite ( un ) est convergente et déterminer sa limite. 3. Soit F la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par F ( x ) = ln ( x + 3 ) 2 . a. Justifier la dérivabilité de F sur [ 0 ; + ∞ [ et déterminer pour tout réel positif x le nombre F ' x ) . ( 2 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale S Pondichéry, Avril 2007 Sujets de Bac b. On pose, pour tout entier naturel n, In = n