Entier relatif

COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e La d´rivation e D´riv´e de l’inverse d’une fonction r´elle e e e Ce cours porte exclusivement sur la notion de d´riv´e relative a l’inverse e e ` d’une fonction r´elle. e 1 L’id´e g´n´rale e e e Une fonction r´elle est un op´rateur qui associe automatiquement a un e e ` nombre r´el, appel´ ant´c´dent, un autre nombre r´el, appel´ image. e e e e e e Une fonction est telle qu’un ant´c´dent n’a qu’une seule image, mais

Ceci est un réel positif si et seulement si sin(nπ/3) = 0 et cos(nπ/3) ≥ 0. Or, sin(nπ/3) = 0 si et seulement si n = 3k, k ∈ Z. Mais, pour ces valeurs de n, on a cos(nπ/3) = cos(kπ), et ceci est positif si et seulement si k est pair. Ainsi, les entiers qui conviennent sont les multiples de 6. Exercice 5 - - L1/Math Sup On écrit z = eiθ , z = eiθ et on utilise les formules d’Euler en mettant en facteur ei facteur au numérateur et au dénominateur. Il vient z+z 1 + zz = = eiθ + eiθ 1 + ei(θ+θ )

(x − c)2 . Les solutions maximales sont donc donn´es par y = (x − c)2 pour x ≤ c, y = 0 pour c ≤ x ≤ d e et y = (x − d)2 pour x ≥ d. On v´rifie bien sˆr que ce sont des solutions. e u Exercice 50 Montrer que l’´quation xy = x + y 2 admet une solution enti`re e e sur ] − 1, 1[. Soit y une solution de la forme y = ∞ ∞ k=0 ak xk . On a donc ∞ xy = x k=0 k(k − 1)ak xk−2 = k=1 ∞ k k=0 bk x (k + 1)kak+1 xk . ai aj . On aura donc a0 = 0, Bien sˆr, on a y 2 = u 1 a2 = 2 et pour k ≥ 2,

CHAPITRE 3. LES POLYNOMES Mais alors, en particulier, si x = a : P (a) = (a − a)Q(a) + r = 0 Q(a) + r = r Cons´quence e ˆ Le polynome P (x) est divisible par (x − a) Application Soit ` factoriser le polynˆme P (x) = x2 + x − 2. a o Les diviseurs entiers du terme ind´pendant sont : ... e  ⇒  P (1) = · · ·   P (−1) = · · · ⇒ Calculons ⇒  P (2) = · · ·   P (−2) = · · · ⇒ On a donc P (x) = · · · Exercices 1. Calculer le quotient et le reste de la division de A(x) par B(x) dans chaque cas 1 A(x)

courbe (Cf ). Corrig´ e L.BILLOT 3 DDL e de la 1`re S ` la TS. a ´ Chapitre 4 : Etudes de fonctions D´finition : soit x un nombre r´el, on appelle partie enti`re de x et on note E(x), le e e e plus grand entier inf´rieur ou ´gal ` x. e e a Exemples : E(5, 4) = 5 Exercice n 10: ˚ Tracer la courbe repr´sentative de la fonction partie enti`re : x → E(x) sur l’intervalle e e [−3, 3[. Corrig´ e Exercice n 11: ˚ On d´finit sur R la fonction f par : f (x) = x − E(x). e 1. Montrer que E est p´riodique

Exercices de m´thodes num´riques1 e e L2 Informatique Sophie JAN2 Septembre 2009 plupart des exercices qui suivent sont tir´s des dossiers d’exercices r´alis´s par Jean-Paul Calvi e e e les ann´es pass´es e e 2 Institut de Math´matiques, Bˆtiment 1R3, Bureau 203 - sophie.jan@math.univ-toulouse.fr - 05 61 e a 55 76 58 1 La 1 Table des mati`res e 1 Interpolation polynomiale 2 Int´gration num´rique e e 3 Recherche de z´ros e 4 Syst`mes lin´aires : m´thodes directes e e e 5 Syst`mes lin´aires

Correction du baccalauréat S France juin 2002 E XERCICE 1 Commun tous les candidats 4 points 1. Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement leur produit scalaire (le repère − − →→ est orthonormal) est nul. D’où U .V = 0 ⇐⇒ a(1 + b) − 5 + b(1 − a) = 0 ⇐⇒ a + b − 5 = 0 ⇐⇒ a + b = 5. Les tirages (a, b) favorables sont : (1, 4), (2, 3), (3, 2), et (4, 1) sur 4 × 4 tirages possibles. 4 1 − − →→ = . p U .V orthogonaux ⇐⇒ 16 4 2. a. D’aprs la question 1. A et B ont chacun 1 chance sur 4 d’obtenir

VIRGULE EN TROP : IDENTIFICATION DE L’ORDRE DES MOTS PONCTUATION 1 Virgule, ordre des mots et inversion Virgule en trop : identification de l’ordre des mots ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ En cliquant sur le bouton « Rubrique grammaticale » dans notre site, vous pourrez, au besoin, consulter la notion théorique suivante : – Virgule www.ccdmd.qc.ca/fr Consigne ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Cours Premi`re ES-sp´L e e ´ Etude de fonctions 1 1.1 Sens de variation Lien avec la d´riv´e e e Th´or`me 1 : (admis) e e f est une fonction d´finie et d´rivable sur un intervalle I. e e 1. f est croissante sur I si et seulement si f ’ est positive sur I. 2. f est est d´croissante sur I si et seulement si f ’ est n´gative sur I. e e 3. f est constante sur I si et seulement si f ’ est nulle sur I. 1.2 Exemples 1. f (x) = x2 f est d´finie et d´rivable sur R et : e e f ′ (x)

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc