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Universit´e de Paris Ouest-Nanterre Licence de Sciences ´Economiques 1`ere ann´ee Ann´ee 2008-2009 Cours de Math´ematiques I Patrice Bertail (UPA) Fran¸cois M´etayer (UPC) Philippe Soulier (UPB) Notes r´edig´ees par Salah Mehdi, Laurent Mesnager et Philippe Soulier Table des mati`eres 1 Fonctions num´eriques d’une variable r´eelle 4 1.0 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Fonction num´erique d’une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . .

tangente en un point au graphe d’une fonction Calcul de limites 6 6 6 7 7 Premi` re partie e Calculs sur les nombres et combinatoire ` Tous les exercices suivants sont a faire sans calculatrice. On rappelle que la factorielle d’un nombre entier n positif est d´ finie par n! = n × (n − 1) × · · · × 2 × 1. Par exemple, e 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. 1. Simplifier 10! 8! puis 10001! 9999! 2. Factoriser les expressions suivantes : • 13! − 10! Simplifier les expressions suivantes : • n! +

BAC Pondichéry 2010 D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/ D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/ D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/ D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/ Pondichéry 2010, Corrigé EXERCICE 1 Partie A. Supposons que sur I=[a,b] on ait f ≤ g : posons h = g – f. > la fonction h est continue sur I comme différence de deux fonctions continues. > la fonction h est positive sur I puisque f ≤ g sur I. ∫ h≥0. D’après le prérequis 1, on a aussi ∫ h = ∫ ( g − f )

Fonctions trigonométriques Les fonctions sinus et cosinus Valeurs usuelles x en radians sin(x) cos(x) 0 0 1 π = 0, 52 . . . 6 1 = 0, 5 2 π = 0, 78 . . . 4 1 √ = 0, 707 . . . 2 1 √ = 0, 707 . . . 2 π = 1, 04 . . . 3 √ 3 = 0, 86 . . . 2 1 = 0, 5 2 π = 1, 57 . . . 2 1 0 √ 3 = 0, 86 . . . 2 Représentation graphique de la fonction sinus 1 −2π −7 −6 −5 − 3π 2 −4 −π −3 −π 2 −2 −1 −1 1 π 2 π 2 3 y = cos(x) 4 3π 2 y = ) (x sin 5 6 2π 7 • La fonction sinus est définie

Chapitre 1: Généralités sur les fonctions Rappels: 1) Définition: Définir une fonction, c'est associer à chaque réels d'un intervalle donné un réel unique. Notation: est appeler l'image de par est une variable Remarque: Une fonction peut être définie sur une réunion d'intervalles. Ex: la fonction est définie sur Présentation graphique: Le plan est muni d'un repère . Soit une fonction définie sur , une partie . L'ensemble des points tel que et est la

´ Licence de Sciences Economiques Universit´ de Nice Sophia-Antipolis e Ann´e 2007-2008 e Math´matiques L1 e ´ FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGES 1 Exercice 1. Nous allons mod´liser par une fonction les chaˆ e ınes de t´l´vision que j’ai regard´es ee e pendant la semaine du 18 au 24 septembre. Chaque soir, j’ai regard´ un film ou une ´mission e e propos´ par une de ces chaˆ e ınes. Appelons les chaˆ ınes 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Les 18, 20, 21 j’ai regard´ e la premi`re chaˆ Les 19 et 22, j’ai regard´

TD d’algorithmique avanc´e e Corrig´ du TD 1 : recherche par rang e Jean-Michel Dischler et Fr´d´ric Vivien e e Recherche du maximum 1. Concevez un algorithme de recherche du maximum dans un ensemble ` n ´l´ments (vous disposez en a ee tout et pour tout d’une fonction de comparaison). Maximum(A) max ← A[1] pour i ← 2 ` n faire a si max ¡ A[i] alors max ← A[i] renvoyer max 2. Quelle est la complexit´ de votre algorithme en nombre de comparaisons ? e R´ponse : n − 1. e 3. Montrez qu’il est optimal

Questions de Cours 1. Prouver que la fonction f(x) = x2 est d ́erivable sur R et que f′(x) = 2x. 2. Prouver que si f est une fonction continue sur un intervalle I avec x0 ∈ I et y0 ∈ R alors il existe une unique primitive F de f sur I v ́erifiant la condition initiale F(x0) = y0 (on admet qu’une fonction continue poss`ede des primitives). Exercice 1 Pour chacune des quatre affirmations ci-dessous dire si celle-ci est Vraie ou Fausse, une r ́e- ponse juste rapporte 1 point et une r ́eponse fausse

FORMULES DE CALCUL Taux périodique i’ équivalent à un taux annuel i : Valeur du k-ième amortissement : Rk = R1.(1 + i) Rn = a 1+ i k −1 Valeur du dernier (le n-ième) amortissement : i' = (1 + i) k − 1 = k 1 + i − 1 Somme d'une suite en progression géométrique de raison q, et de 1er terme a : 1 Capital Restant Dû après le k-ième amortissement : (1 + i ) k − 1 CRDk +1 = C − C. (1 + i ) n − 1 Durée normale de remboursement : qn − 1 ∑ = a. q − 1 Valeur acquise à intérêts

a. D1 : 2y – 5 = 0 donc a = 0 et b = 2, un vecteur directeur de D1 est donc u(-2 ; 0). b. D2 : = 0 donc a = et b = , un vecteur directeur de D2 est donc u mais ce n’est pas un vecteur à coordonnées entières. Pour que l’abscisse soit entière, il faut la multiplier par un nombre multiple de 5 et pour que l’ordonnées soit entière il faut la multiplier par un multiple de 2 donc pour que u' soit une vecteur colinéaire à u et à coordonnées entières, on peut multiplier les coordonnées de u par 10