Entier relatif

Première S1 Année 2014-2015 Devoir sur table n◦ 1 : Corrigé Durée : 2 heures Les calculatrices ne sont pas autorisées Question de cours 1. Déterminer la (ou les) fonctions trinômes du second degré f vérifiant les conditions suivantes : ses racines sont − 1 et 2 et on a f (1) = 4. On sait qu’un tel trinôme s’écrit sous forme factorisée f (x = a(x + 1)(x − 2). De f (1) = 4, il résulte que f (1) = a × (−1) donc −2a = 4 soit a = −2. En développant l’expression ainsi obtenue, il résulte : f (x) = −2x2

DST 1S 28/01/2012 NOM : Exercice 1 (trigo) Exercice 2 : Soit f ( x ) = x + 4 points 2 et voici sa représentation x y 12 11 10 graphique : 9 Cf 8 7 6 5 4 3 2 1 1. Montrer que f ( 2 + h ) − f ( 2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x h +1 . h h+2 2. En déduire que f est dérivable en 2 et déterminer f ' ( 2 ) . = 3. Déterminer une équation de la tangente en 2 à C f . 4. Tracer cette tangente sur le graphique. Exercice 3 : 3 points Ci-contre le graphique d’une fonction f et quelques-unes

2nde ISI Outils de calcul chapitre 3 2009-2010 RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS Table des matières I Inéquations du premier degré 1 II Tableaux de signes II.1 Signe de ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Inéquation produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Inéquation quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11/9/2014 D.S.1 INTEGRALES DE WALLIS π/2 π/2 Pour tout entier naturel n , on pose w n = ∫ sin n tdt . On admettra que w n = ∫ cos n tdt . 0 0 1) Montrer que pour t ∈ 0, π/2 fixé , la suite sin n t n∈N est positive et décroissante . 2) En déduire que w n  est positive et décroissante . Est elle convergente ? 3) Par une intégration par parties , montrer que : ∀n ∈ N, n + 2w n+2 = n + 1w n (R) On pourra poser u = sin n+1 t, v ′ = sint dans w n+2 . 4a) Calculer w 0 , w 1 puis

Chapitre : D´rivation e I) a) Fonction d´rivable e D´rivabilit´ en un point e e D´finition 1. Soient f : I −→ e fonction R une fonction et a ∈ I. La fonction f x −→ est d´rivable en a si la e f (x) − f (a) x−a admet une limite finie lorsque x tend vers a. Cette limite est appel´e nombre d´riv´ de f en a et e e e est not´e f (a) : e f (x) − f (a) f (a) = lim . x→a x−a √ 1 1 , valeur absolue, x sin x et x2 sin x . Exemples. xn , la fonction inverse, Par un changement de variable

TD « Pièges à éviter » CONTINUITE : -4 -3 -2 -1 y 3 2 1 0 1 2 3 x -1 1) Si une fonction n’est pas définie en a, Alors elle n’est pas continue en a. a) Vrai b) Faux -2 2) La fonction partie entière est discontinue en tout point n∈ . -3 a) Vrai b) Faux -4 3) Le graphe ci-contre est la représentation graphique de la fonction partie entière a) Vrai b) Faux 4) Si une fonction f est décroissante de ]–∞ ; –1] dans [–3 ; 2[ et croissante de [–1 ; +∞[ dans [–3 ; +∞[. Alors l’équation

Ce qui nous permet d écrire finalement : a = b a+c = b+ d d c 2.1.4 On obtient aussi un rapport égal si on utilise la différence a = b 2.1.5. Multiplions les deux termes du rapport du rapport c d a = b c d par le nombre relatif y. a b c a c = d b d par le nombre relatif x et les deux termes ax cy ax + cy bx = dy = bx + dy exemple : Soit la proposition 5 15 2= 6 Multiplions respectivement les rapports par : X=4 Y = -5 5 6 2 55 55 22 = 22 = 15 = 20 75 x ) 5 15 ( = (2x ) (6x ) 4 5 8 30 (x

C HAPITRE 7 C OURS : E QUATIONS ET INÉQUATIONS Extrait du programme de la classe de Troisième : C ONTENU Équations et inéquations du 1er degré Ordre et multiplication C OMPÉTENCES EXIGIBLES C OMMENTAIRES Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l’ordre inverse si a est strictement négatif. On pourra s’appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures,

Corrigé du baccalauréat S Métropole La Réunion 16 septembre 2010 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie 1 : Étude de la fonction f 1. Comme x est supérieur à zéro, le signe de f (x) est celui de 1 − ln x. Or 1 − ln x > 0 ⇐⇒ 1 > ln x ⇐⇒ ln e > ln x ⇐⇒ e > x par croissance de la fonction ln. On a donc : f (x) > 0 ⇐⇒ 0 < x < e ; f (x) < 0 ⇐⇒ x > e. x→0 6 points f (x) = 0 ⇐⇒ x = e ; 2. • Au voisinage de zéro : f (x) = x − x ln x. On sait que lim x ln x = 0, donc lim f (x) = 0. x→0

abValeur absolue d’un nombre I. Cours Définition : Soit x un nombre réel. On appelle valeur absolue de x , notée | x |, le nombre positif ou nul tel que : | x | = x si x ≥ 0 | x | = − x si x ≤ 0 Exemples : |20| = 20 |-3| = 3 |1-π| = π-1 car 1-π < 0 Interprétation graphique de la valeur absolue : Soit M le point image de x . On a | x | = OM. x M 0 Propriétés : Pour tout x réel, on a : |x| ≥ 0 | x | = | −x | x² = | x | Valeur absolue d’un produit : xy = x y x x = y y Valeur absolue d’un