Entier relatif

CG1 10/12/09 Devoir de mathématiques La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. E XERCICE (BTS, Nouvelle Calédonie octobre 2008) Partie A Étude d’une fonction Soit f la fonction définie sur [4 ; 20] par : f (x) = 20 − 3x + 6e0,12x . On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal où l’unité est 1 cm pour 2. 1. a) Démontrer que, pour tout nombre

la fonction exponentielle 2.1 LES EXPOSANTS Pour un nombre réel positif b et un nombre entier positif n, l'expression bn signifie par définition b×b×…×b où le nombre réel b apparaît n fois. De cette définition, il découle : 1. bm × bn = bm+n 2. bm ÷ bn = bm−n lorsque m > n 3. (bn)m = bm×n Suivant la définition que nous en avons donnée initialement, l'expression bn n'a de sens que pour n entier positif. Les trois règles qui précèdent conduisent toutefois aux généralisations suivantes

Aides mathématiques 01 page 1/2 Il   ne   s’agit   pas   d’un   cours   de   mathématiques   mais   d’aides   pour   comprendre   comment   les   mathématiques, leurs notions, leurs résultats et leurs notations sont utilisés avec succès depuis des années en physique. Mesures algébriques, valeurs absolues Figure 1 : L'axe normé, le vecteur unitaire, la mesure algébrique A. De  la  droite  à  l’axe  normé Nous considérons une droite (x’x) sur laquelle nous

autorisées 2014 Mathématiques 1 L’objet de ce problème est l’étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices. Dans tout le problème, on fixe un entier ? ∈ ℕ∗ et on note ℳ? (ℝ) (respectivement ℳ? (ℂ)) l’espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille ? × ?. Si ? et ? sont deux entiers entre 1 et ?, on note ??,? le coefficient placé ligne ? et colonne ? dans la matrice ?. On rappelle que ? 0 = ?? . On note Tr(?) la trace de la matrice ?. Les parties

A1 CALCUL ALGEBRIQUE I. Règles du calcul algébrique Rappel des conventions d’écriture sur un exemple : Soit le calcul : ? = ? × 8 × ? × 2 × ? On réordonne le produit en commençant par les nombres suivis par les lettres rangées dans l’ordre alphabétique ? =8×2×?×?×? On multiplie entre eux les éléments de même nature ? = 16 × ?² × ? On enlève le symbole × (multiplication) lorsqu’il est devant une lettre ou une parenthèse. ? = 16 ?2 ? Vocabulaire : Une somme de termes : 8? + 3 − 7? Un produit

Exercices - Matrices : corrigé Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve : AB = 0 0 0 0 , 0 0 0 0 BA = . En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls

propri´et´e d’Archim`ede ´etant vraie pour (a, b) ∈ R2 et a fortiori vraie pour (a, b) ∈ Q2 alors que R(X) avec la relation d´ efinie plus haut ne l’est pas car ∀n ∈ N, X − n > 0 donc n.1 < X. ✑ Conse´quence ∀x ∈ R, ∃ !n ∈ Z, n x < n + 1. Cet entier est la partie enti` ere de x et not´e E (x) ou [x]. 2) La droite num´ erique achev´ ee ❤ D´efinition. On appelle droite num´ erique achev´ ee l’ensemble R = R ∪ {−∞, +∞} not´e aussi [−∞, +∞] avec les propri´et´es suivantes : 1) relation d’ordre: ∀x ∈ R, −∞

NOMBRES RELATIFS Exercices 01 Effectuer les calculs suivants : - 6 + 10 = (- 5) + 8 = 9 + (- 7) = - 3 - (- 2) = -5 + (- 2) = -1 – 9 = 2 – 10 = (+ 9) + (+ 1) = 02 Effectuer les calculs suivants : - 6 + 10 + 8 – 5 - (- 7) + 2 = (- 5) + 8 + 4 –3 + 9 -(- 2) = 9 + (- 7) + (+ 8) – 4 – 2 + 5 = - 3 - (- 2) – 2 + 2 + (+ 2) = - 5 + (- 2) - (+ 3) - (2) + 7 = - 1 – 9 - (- 1) – 6 - (- 7) = 2 – 10 + 8 – 4 + 2 – 4 + 3 = (+ 9) + (+ 1) + (6) + 3 + 5 = 03 Calculer en ôtant les parenthèses puis sans ôter les

Table des mati`res e Aller ` la page suivante→ a CHAPITRE 9. EXERCICES DE COLLES 9.3. SEMAINE 3 Exercice 9.3.66 Soit D(n) le disque ferm´ du plan, centr´ en O et de rayon n ∈ N. On note P (n) le nombre de points e e du plan ` coordonn´es enti`res contenus dans le disque D(n), et on note P + (n) celui de ceux qui de plus disposent de a e e coordonn´es positives. e 1. Montrer que : 2. En d´duire que : e P (n) ∼ πn2 , et P + (n) ∼ +∞ π 2 n . 4 t n=0 n2 √ ∼t→1− π 1 √ . 2 1−t

Baccalauréat ES France 19 juin 2009 E XERCICE 1 Commun tous les candidats 4 points Le tableau ci-dessous donne l’évolution de l’indice des prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre des années 2000 à 2007. Année Rang de l’année : xi Indice : y i Source : INSEE 2000 0 100 2001 1 108,5 2002 2 120,7 2003 3 134,9 2004 4 154,8 2005 5 176,4 2006 6 193,5 2007 7 213 ,6 1. Calculer le pourcentage d’augmentation de cet indice de l’année 2000 à