Entier relatif

LES ANNUITÉS I. Calculer la valeur acquise par des annuités :  ✂✁ • Exemple : On place chaque année pendant 5 ans, en début d’année, un capital de 5 000 Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement, puis un an après le dernier versement (Capitalisation annuelle au taux de 6 %) • Méthode : la valeur acquise au moment du dernier versement constant est donnée par la formule (1 + i ) n − 1 Vn = a avec : i a : versement périodique en début de période n : nombre de versements

Valeur absolue d’un nombre I. Cours Définition : Soit x un nombre réel. On appelle valeur absolue de x , notée | x |, le nombre positif ou nul tel que : | x | = x si x ≥ 0 | x | = − x si x ≤ 0 Exemples : |20| = 20 |-3| = 3 |1-π| = π-1 car 1-π < 0 Interprétation graphique de la valeur absolue : Soit M le point image de x . On a | x | = OM. x M 0 Propriétés : Pour tout x réel, on a : |x| ≥ 0 | x | = | −x | x² = | x | Valeur absolue d’un produit : xy = x y Valeur absolue

FONCTIONS DÉRIVÉES I. Savoir calculer une dérivée : • Exemple : Calculer la dérivée f ′(x ) dans chacun des cas suivants : f (x ) = 3x 4 + 5x − 1 g( x ) = 3 x h( x ) = • Méthode : On utilise les formules du calcul des dérivées. 3 x2 k ( x) = 2x + 1 x2 f(x) f '(x) f(x) f '(x) ax + b axn 1 x a naxn-1 1 − 2 x 1 2 x u(x) + v(x) u.v 1 u u v u'(x) + v'(x) u'.v + u.v' u′ − 2 u u′v − uv ′ v2 x • Solution : f (x ) = 3x 4 + 5x

NOM Prénom 1 BT A CONTRÔLE A EQUATION DE DROITE Corrigé I. QCM Sur cette figure sont représentées huit droites dans un repère orthonormal : Pour « lire » le coefficient directeur d'une droite tracée dans un repère, on rejoint deux de ses points par un parcours horizontal suivi d'un parcours vertical : ces parcours sont orientés (+ ou -) et mesurés (nombre d'unités). Le coefficient directeur est alors l'écart d'ordonnées (parcours vertical) divisé par l'écart d'abscisses (parcours

Terminale ST2S FICHE n°5 Nombre dérivé et tangente à une courbe I. Tangente à une courbe L’idée La définition d’une tangente est trop compliquée pour être exposée ici et est hors programme. L’ « idée principale » est la suivante : La tangente à une courbe en un point A est une droite : ¤ qui passe par le point A ; ¤ qui « effleure » la courbe . EXERCICE TYPE 1 Lire graphiquement une équation d’une tangente On a représenté ci-dessous la courbe (Cf) représentative d’une fonction f

Série N° 5 : Systèmes 1ére année Secondaire Exercice Un : Jemai Wajdi Année Scolaire : 2009-2010 À partir des représentatives graphiques suivantes : 1) Trouver les équations correspondant à chaque droite. 2) Déterminer le point d’intersection de deux droites par deux manières différentes Exercice Deux : On considère dans ℝ × ℝ , l’équation (E) : x − 2 y + 1 = 0  1 1) Vérifier que les couples (1,1) et  0,  sont solutions de (E)  2 2) Donner deux autres couples de solutions

q c. Nous avons vu e , donc n n+1 e ̸∈ Q. l Partie IV 2 In e 3 x 1 1 ∫ dt t x 2 x+1 dt . x 1 4. Les questions pr´ c´ dentes donnent : f (x) e e x = n, entier naturel, on a le r´ sultat. e e g(x). En prenant 5. Pour tout entier naturel k ∈ [1; n], on a : h(k) e l(k).On en d´ duit : e n n ∏ ∏ h(k) en l(k). La r´ duction au mˆ me d´ nominateur et la e e e k=1 1 3 x+1 2.a. f (x) = ex ln(1+ x ) = ex[ x − 2x2 +o(

n−1 n j=1 k=1 1 = xk − yj n−1 j=1 P (yj ) =0 P (yj ) 2 Analyse √ n− √ m, (n, m) ∈ N2 est dense dans R. Exercice 6 Montrer que A = Solution 6 On remarque que A est stable par multiplication, i.e si a ∈ A alors pour tout entier k, ka ∈ A. On commence donc d´j` par montrer que on peut trouver des ´l´ments√ A aussi proche de 0 que l’on veut, i.e ∀ε > 0, ea ee de √ A∩]0, ε[= ∅. Pour cela on consid`re la suite d’´l´ments de A, un = n + 1 = n → 0. Pour conclure pour la densit´

respectives de A et B. Par hypothèse, x, x , y et y sont des entiers. Puisque ABCD est un carré, D est l’image de B par la rotation de centre A et d’angle π/2. Traduit en termes de nombres complexes, si d est l’affixe de D, ceci signifie que d − a = i(b − a) =⇒ d = a + i(b − a) = x + iy + i (x − x) + i(y − y) = x + y − y + i(y + x − x). Ainsi, les coordonnées de D sont bien des entiers. Pour prouver que les coordonnées de C sont des entiers, on procède de la même façon, en utilisant cette fois le fait

base 7302 = 7 × 103 + 3 × 102 + 0 × 101 + 2 × 100 . On est habitu´s ` ´crire les nombres en base 10, quand on ´crit 7302 cela signifie e ae e En fait, on peut utiliser n’importe quelle base enti`re b ≥ 2 pour ´crire de fa¸on unique les e e c nombres. Th´or`me 2 (Base) Soit b ≥ 2 un entier. Pour tout entier n ≥ 0, il existe un e e -uplet (x0 , x2 , . . . , x −1 ) ∈ {0, . . . , b − 1} tel que −1 ≥ 0 et un n= i=0 xi bi = x0 b0 + x1 b1 + . . . + x −1 −1 b −1 . Si de plus on impose