Entier relatif

Vous avez rencontr´ jusqu’` pr´sent diff´rents types de nombres : d’abord les entiers, ou e a e e entiers naturels, d`s la petite enfance, puis au coll`ge les entiers relatifs et les rationnels. Vous e e avez not´ N l’ensemble des entiers, Z celui des entiers relatifs, et Q celui des rationnels. En e identifiant les entiers naturels aux entiers relatifs positifs, vous avez ´crit N ⊂ Z, puis en e identifiant les entiers relatifs aux fractions rationnelles dont le d´nominateur est 1, vous avez e aussi ´crit

eduscol.education.fr/bac Exercice n◦ 1 (enseignement obligatoire) 1. D´monstration de cours. e 1 k < n, on a : D´montrer que, pour tous entiers naturels n et k tels que e n−1 n−1 + k−1 k = n . k k < n − 1, on a : n . k 2. En d´duire que pour tous entiers naturels n et k tels que 2 e n−2 n−2 n−2 +2 + k−2 k−1 k = 3. On consid`re deux entiers naturels n et k tels que 2 k < n − 1. On dispose d’une urne e contenant n boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres

On peut donc construire tous les …………………………… dont l’ensemble est noté ……(voir le cours précédent). A l’aide de quel instrument peut-on construire les nombres –1, -2, -3, -4, etc… ? Les nombres …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4….. sont appelés les entiers relatifs. Leur ensemble se note W. Ainsi on a W={…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}. Remarque : tous les éléments de V sont aussi des éléments de W. On dit que V est inclus dans W et on note V ⊂ ℤ. ( On dit aussi que V est un sous-ensemble ou une partie

n + 24 = 6 n – 1 + 25, 5 6 n – 1 et 5 25 ; donc : 5 6 n + 24. 3 1) Soit k ∈ ‫2 ; ޚ‬k – 1 + 2k + 1 = 4k, donc la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4. 2) Soit n un entier naturel divisible par 4 ; ∃k ∈ ‫ގ‬ tel que n = 4k = 2k – 1 + 2k + 1 donc n est la somme de deux entiers impairs consécutifs. 4 a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) et Ᏸ 24 = { – 24 ; – 12 ; – 8 ; – 6 ; – 4 ; – 3 ; – 2 ; – 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 }. De plus : ( a ; b ) ∈ ‫ ; 2 ގ‬donc : a +

MT18 Logique et théorie des ensembles Rappels : ℕ : ensemble des entiers naturels = { 0 , 1 , 2 , … } A part 0, un nombre n’a pas d’opposé dans ℕ * = − {0} : ensemble des entiers relatifs = { …, – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , … } = { n, -n ; n ∈ ℕ } A part -1, 1, un entier relatif n’a pas d’inverse dans = − {0} p p p * : ensemble des nombres rationnels = { ;( p, q ) ∈ × } avec 1 = 2 ⇔ p1.q2 = p2 .q1 } q q1 q2 * * = − {0} Mais π , * + 2,e∉ * : ensemble des nombres réels

D´termination par compr´hension e e E = {x entier 0 x < 10} notation: x x < 10 ⇐⇒ 2 x tel que x < 10 Ensembles particuliers 2.1 L’ ensemble vide {} = ∅ 2.2 Singleton Ensemble ` un seul ´l´ment a ee {2} est un singleton {∅} est aussi un singleton {2; 3 − 1} idem 2.3 Paires {1; 5} est une paire 2.4 Ensembles de r´f´rence ee N = { entiers naturels } Z = { entiers relatifs } D = { d´cimaux relatifs } e Q = { rationnels } R = { r´els } e C

et ses activités, la démarche de conception d’un environnement numérique d’apprentissage. Nous présentons dans cet article un dispositif expérimental d’un environnement numérique d’apprentissage du traitement arithmétique simple des nombres entiers relatifs pour des élèves de cinquième de collège (Hérold, 2007), s’appuyant sur trois types de profils d’apprenants déterminés à partir de l’analyse de l’activité d’élèves sur un dispositif de type papier-crayon. Les principaux éléments de conception

le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4. EXERCICE 1 (3 points) Commun à tous les candidats On considère la suite (un) définie par : [pic] 1. Étudier la monotonie de la suite (un). 2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2. b) Quelle est la limite de la suite (un) ? Conjecturer une expression de un, en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée. EXERCICE 2 (5 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

n ∈ Z, par c n ( f ) = f (t ) e −i n t dt et ses coefficients de 2π ∫ 0 Fourier trigonométriques définis par : 1 2π 1 2π a n ( f ) = ∫ f (t ) cos(n t ) dt (pour n ∈ ) et bn ( f ) = ∫ f (t ) sin(n t ) dt (pour n ∈  * ). π 0 π 0 On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x : p p a S p ( f )( x) = ∑ c n ( f ) e i n x = 0 + ∑ ( a n ( f ) cos(n x) + bn ( f ) sin(n x) ) . 2 n =1 n=− p On rappelle le théorème de convergence normale : Si f :  →  est une fonction continue de période 2π et de classe

c|2 b +c est imaginaire pur. c. En déduire que le nombre complexe b −c 2. Soit H le point d’affixe a + b + c. −→ −→ − − a. Exprimer en fonction de a, b et c les affixes des vecteurs AH et CB . π −→ −→ − − b. Prouver que CB , AH = + kπ, où k est un entier relatif quelconque. 2 π −→ −→ − − (On admet de même que CA , BH = + kπ). 2 c. Que représente le point H pour le triangle ABC ? E XERCICE 2 Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 points → → − − Le plan complexe est rapporté