Entier relatif

de factorisation Transformation de formules Méthodologie Exemple Equations paramétriques du 2ème degré Erreurs classiques Nombres et ensembles ℝ= Nombres réels = Tous les nombres ℚ= Nombres rationnels = Nombres à virgules ℤ= Entiers relatifs = Nombres négatifs ℕ= Entiers naturels = Nombres positifs Opérations et tableau des signes a+b = b+a Additions et multiplications sont commutables a∙b = b∙a a − b =/ b − a Soustractions et divisions ne sont pas commutables a ÷ b =/ b ÷ a a(b + c) = a ∙

(ensemble en pointillé sur le graphique), les nombres pairs, les nombres impairs, … Les ensembles suivants sont souvent utilisés en mathématiques : Entiers naturels : c’est l’ensemble de tous les entiers positifs ou nuls. On le note IN (de l’italien naturale ) 16 Ex : 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 4 Entiers relatifs : c’est l’ensemble de tous les entiers positifs et négatifs. On le note Z (de l’allemand zahlen = compter) 16 Ex : 0 ; 1 ;-3 ; - 4 ; -4 Q Nombres décimaux : c’est l’ensemble des nombres

On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions de Z. Le corps Q étant totalement ordonné, on peut

un couple (u, v) de nombres entiers ree latifs tel que : 123u + 2003v = 1 (b) en d´duire un entier relatif k tel que 123k ≡ 1[2003] e (c) D´montrer que : (∀x ∈ Z) 123x ≡ 456 [2003] ⇔ x ≡ e 456k [2003] (d) D´terminer l’ensemble des entiers x tel que : 123x ≡ e 456[2003] (e) Montrer qu’il existe un unique entier naturel n tel que 123n ≡ 456 [2003] et 1 ≤ n ≤ 2002. 2. Soit a un entier naturel tel que 1 ≤ a ≤ 2002 (a) D´terminer a ∧ 2003 e (b) montrer qu’il existe un entier p tel que ap ≡ 1[2003] Exercice

[pic] et on définit la suite (un) par : u0 =[pic]= [pic] pour tout entier naturel n non nul, un =[pic] = [pic] 1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], [pic] ( f(x) ( 1. b. En déduire que [pic] ( u0 ( 1 2. Calculer u1. 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 ( un. b. Étudier les variations de la suite (un). c. En déduire que la suite (un) est convergente. 4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un ( [pic]. b. En déduire la limite de la suite (un)

seule est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro da la question et la lettre correspondante à la réponse choisie. 1.) Soit n un entier naturel non nul tel que : ������������ ∧ (������������ × ������������ × ������) = 35 alors : a ������ ≡ ������[������] b ������ ≡ ������[������] c ������ ≡ ������[������] 2.) Soit n un entier relatif, pgcd(3n+2 ;3n+5) divise : a2 b 3 c 5 3.) L’équation (E) : 5x+18y = 25 , admet dans ℤ × ℤ : a zéro solution b Une seule

A rendre le lundi 8 novembre 2010. DM3 Exercice 1 : a) Justifier que : 10  – 1 [11] . b) En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a : 10 2n  1 [11] et 10 2n + 1  – 1[11]. c) On considère le nombre M = 91718. Démontrer que M = (9 104) + (1 103) + (7 102) + (1 10 1) + 8 . En utilisant les résultats du b), démontrer que M est divisible

segment [PM] tel que PC = 3 cm. Les droites (CE) et (MB) sont-elles parallèles ? Justifier. Exercice 4 1. Ecrire chaque expression suivante sous la forme 2. Ecrire chaque expression sous la forme 3. Démontrer que , où est un entier relatif : , où n et p sont des entiers relatifs. . (NB :La calculatrice ne permet pas de démontrer cette égalité) Exercice 5 Chacune des trois affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? (Les réponses doivent être justifiées) Affirmation 1 : Dans un club sportif

sans utiliser le théorème de Gauss, que pour tout entier naturel n, si 5 divise 4n alors 5 divise n. EXO 02. L’objectif est de déterminer, pour tout entier naturel n, le pgcd de 4n+1 − 1 et de 4n − 1 (toujours lire la dernière question !) Vu au BAC... (a) Déterminer le pgcd de 45 − 1 et de 46 − 1 . (b) Considérons la suite [d’entiers naturels – A ENLEVER] u définie par un +1 = 4un + 1 et u0 = 0 . Déterminer le pgcd de un et un +1 pour tout entier naturel n. 1 3 (c) Considérons la suite v

28 et 35 le nombre de diviseurs est de: 5x2x2= 20Cas général si on considère N un entier dont la décomposition en produit de facteurs premiersN= P1α1 x P2α2 x P3α3 x…. pnαn Le nombre de diviseurs de N est : (α1+1)(α2+1)(α3+1) 1= indice au dessous4) PPCM (a,b) Définition Le PPCM à 2 nombres entiers « a » et « b » est le plus petit nombre se trouvant à la fois dans la liste des multiples de « a » et dans celles des multiples de « b » PPCM (24,60)= ? Liste des multiples de 24, liste des multiples