Entier relatif

2nde - Cours Les Nombres I Les différents ensembles de nombres 1) Les entiers naturels Définition : ce sont les premiers nombres que l’on a utilisé, N = {0; 1; 2; 3; . . . }. 2) Les entiers relatifs Définition : ce sont les entiers naturels et leurs opposés : Z = {. . . ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . . } 3) Les décimaux Définition : un nombre décimal est un quotient d’un entier relatif et d’une puissance de 10 : d = L’ensemble de ces nombres est noté D a où a ∈ Z et n ∈ N. 10n

nombres irrationnels 1. Supposons n rationnel. Il existe deux entiers naturels p et q premiers entre eux tels que : n= p et q dans ce cas : p 2 = n q 2 . Or, si p et q sont premiers entre eux, les entiers p2 et q2 le sont aussi1… D’après le théorème de Gauss, p2 divise n : il existe un entier naturel u tel que : n = p 2 u . Ou bien n = u = 0 auquel cas n est entier, de même que sa racine carrée, ou bien les entiers u et q vérifient la relation : 1 = u q 2 qui n’est réalisée que si

enx . – (ex )0 = 1 = e0×x . Donc P (0) est vraie. – Soit n, un entier, on démontre que la propriété se transmet de n à n + 1. On suppose que (ex )n = enx alors (ex )n+1 = (ex )n × ex = enx × ex = enx+x = e(n+1)x . – La propriété est vraie pour n = 0 et se transmet, pour tout n, de n à n + 1, donc la propriété est vraie pour tout n : pour tout entier naturel n, (ex )n = enx . Partie B On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par : 1 un = 1 1. a. u0 + u1 = 0 Par

Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C . 2. Soit n un entier naturel non nul. On considère l’intégrale I n définie par In = 1 0 5 points x n e1−x dx. a. Établir une relation entre I n+1 et I n . b. Calculer I1 , puis I2 . c. Donner une interprétation graphique du nombre I2 . On la fera apparaître sur le graphique de la question 1 c. 3. a. Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l’inégalité suivante : xn x n e1−x x n e.

réels particuliers l’ensemble des nombres entiers positifs : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … Les nombres entiers positifs sont appelés entiers naturels. ● ℕ est l’ensemble des nombres entiers positifs ou négatifs :… -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … Les nombres entiers positifs ou négatifs sont appelés entiers relatifs. ● ℤ est ● ℚ est l’ensemble des quotients d’entiers : c'est-à-dire des nombres Exemples : 5 4 ; −3 2 ; 25 10 2 ? ? , avec a entier et b entier non nul. ; . 3 Les quotients d’entiers sont

message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l’alphabet, on commence par associer un entier n de l’ensemble Ω = {0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 24 ; 25} selon le tableau ci-dessous : A 0 N 13 B 1 O 14 C 2 P 15 D 3 Q 16 E 4 R 17 F 5 S 18 G 6 T 19 H 7 U 20 I 8 V 21 J 9 W 22 K 10 X 23 L 11 Y 24 M 12 Z 25 a et b étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier n de Ω le reste de la division euclidienne de (an + b) par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante

irrationnels. √ √ 1) (**) 2 et plus généralement n m où n est un entier supérieur ou égal à 2 et m est un entier naturel supérieur ou égal à 2, qui n’est pas une puissance n-ième parfaite. 2) (**) log 2. 3) (****) π (Lambert a montré en 1761 que π est irrationnel, Legendre a démontré en 1794 que π2 est irrationnel, Lindemann a démontré en 1882 que π est transcendant). p Pour cela, supposer par l’absurde que π = avec p et q entiers naturels non nuls et premiers entre eux. Considérer q p/q n x (p −

est indépendant du nombre réel t. Pour la suite de l’exercice, on prendra λ = 0, 2. Exercice no 12 Restitution organisée de connaissances [Spécialité] (Asie 21 juin 2011) 1. Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l’unicité de cette décomposition). http://prof.pantaloni.free.fr V ERSION

Les Entiers Naturels Un entier naturel est un nombre ≥ 0 qui ne possède pas de décimal après la virgule. Par exemple, le nombre 12. L’ensemble de tous les entiers naturels est représenté par la lettre capitale grasse N. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} Lorsqu’on effectue des opérations mathématiques avec des entiers naturels (addition, soustraction, division, multiplication), il est important de respecter l’ordre des opérations. Les multiplications et les divisons on toujours priorité sur les

déduire les coordonnées des points M et N D EXERCICE 2 On considère la suite (I n ) définie pour n entier naturel non nul par : 1 5 points In = 1. 2 0 x n ex dx. 2 1 2 Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) = ex est une primitive sur R de la fonction g . 2 (b) En déduire la valeur de I 1 . (c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on a : 1 n +1 I n+2 = e − In . 2 2 (d) Calculer I 3 et I 5 . (a)