Entier relatif

des nombres entiers naturels privilégie cependant une définition ordinale de l'addition, par récurrence. Ainsi, partant de la seule opération « ajouter un », l'addition des nombres 3 et 2 se conçoit sous la forme « 3 auquel on ajoute un par deux fois » (3+1+1). Dans ce contexte, les propriétés de commutativité et d'associativité ne sont alors plus du tout évidentes et doivent être démontrées. Article détaillé : Addition dans l'arithmétique de Peano. À partir de l'addition des entiers naturels, sont

EXAMEN : BEPC SESSION : 2012 CORRIGE DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES CAMEROUN A – ACTIVITES NUMERIQUES 6,5pts Exercice 1 : On donne 1) Ecrivons X sous forme de fraction irréductible 1pt 2) Trouvons deux entiers naturels consécutifs α et β tels que α On a : 4 < 5 donc α = 4 et β = 5 Exercice 2 : 1- Le système 2- Désignons par u le prix d’un cahier et v celui d’un bloc note. On a : 7u + 3v = 4850 et 4u + 6v = 4700 D’où le système : D’après 1- , u = 500 et v = 450 Le cahier coûte 500F

la tangente T. Exercice 2 (7 points) – 1i  3 . 4 Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct O ; u , v  (unité choisie : le centimètre). On pose a =   1. Calculer le module et un argument de a puis de a n avec n un entier naturel. Écrire a et a n sous forme exponentielle. 2. La définition d'une suite géométrique de nombres réels s'étend aux nombres complexes. On définit la suite géométrique  z n  de nombres complexes par z 0=8 et, pour tout n de ℕ z n1=a z n ; on

|[pic] | |[pic] entier | | | | |[pic] |[pic]\{0} |[pic] |[pic]\{0} | |[pic] |[pic]\{0} |[pic] |[pic]\{0} | |[pic] entier |

z z  x 2  y2 . Questions : Si z est réel, quel est son module ? Si z est un imaginaire pur, quel est son module ? Propriétés :   z, z   i) 2 : z 0z0. ii) z  z . iii) zz  z z z z .  z z iv) Si z est non nul : v) Pour tout entier naturel n non nul : z  z n vi) z  z  z  z Exemple 2. : (inégalité triangulaire) Calculer le module de : 1. z  4598 2. z  3i  3. z  1  i  3 2  i 7  4. z  1  i 3 5. z  n   3 1 i 3 1 i Chap2 – Cours – Nombres complexes

I. Nombres relatifs a. Addition et soustraction : Si les deux nombres sont de même signe, on écrit le signe des deux nombres puis on écrit leur somme. Exemple : Positif et positif : 9 + 5 = 14 Négatif et négatif : -9 – 5 = -14 Si les deux nombres sont de signe différent, On écrit le signe du nombre « le plus lourd » puis la différence du plus grand et du plus petit. Exemple : Positif et positif : 9 – 5 = 4 Négatif et négatif : -9 + 5 = -4 b. Multiplication et division :

positifs : a) ln ( x y ) = ln x + ln y ; b) ln (x × x) = ln x + ln x , soit ln ( x 2) = 2 ln x ; c) Pour tout entier naturel n, ln (x n ) = ln ( x n–1) + ln (x) = ln (x n–2) + ln (x ) + ln x = …. = n ln (x) ; 1 1 1 1 ) = ln 1, donc ln ( x × ) = 0, d'où ln x + ln ( ) =0, soit ln ( ) = – ln x ; d) ln ( x × x x x x x 1 1 e) ln ( ) = ln (x × ) = ln (x) + ln ( ) = ln x – ln y ; y y y 1 f) Pour tout entier naturel n, ln ( n ) = ln(x– n) = – n ln x . x Bilan : pour tous nombres réels a et b strictement positifs

tout n entier relatif : Exp(– b) = 1exp⁡(b) et ln( 1d ) = – ln d Exp(a – b) = exp⁡(a)exp⁡(b) et ln( cd )= ln c – ln d Exp(na) = (exp(a))n et ln(cn)= n(lnc) Propriétés asymptotiques, croissances comparées limx→+∞ex=+∞ et limx→+∞lnx=+∞ limx→-∞ex=0 et limx→-∞lnx=-∞ limx→+∞exxn=+∞ et limx→+∞lnxxn=0 n entier naturel

des nombres réels que l'on note ℝ . Définition de la réunion La réunion de deux intervalles I et J est l'ensemble des nombres qui sont dans I ou dans J (au moins un des deux) : elle se note I ∪ J . L'ensemble de tous les nombres, entiers naturels ℕ , entiers relatifs ℤ , décimaux D, rationnels Q et irrationnels est appelé ensemble des nombres réels; il est noté R. On a les inclusions suivantes : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R . Représentation de quelques nombres réels sur une droite graduée : Pour s'entraîner

TS Exercices sur la division euclidienne 1 Déterminer deux entiers naturels x et y sachant que leur somme est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 8 et le reste 5. 2 Déterminer deux entiers naturels x et y sachant que leur différence est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 10 et le reste 5. 3 Déterminer tous les entiers naturels n tels que, dans la division euclidienne par 7, ils donnent un quotient égal au reste. 4 Déterminer