Entier relatif

soit ´quilat´ral de sens direct e e e exercice 2 : (5 points) pour tout entier n strictement positif, on consid`re la fonction fn d´finie sur e e (ln x)n e ]0; +∞[ par fn (x) = et l’int´grale In = 1 fn (x)dx e x2 1 + ln x 1) on pose F (x) = . Calculer F (x). en d´duire I1 . e x 1 2) en utilisant une int´gration par parties montrer que: In+1 = − +(n+1)In e e 3) en utilisant la question 2) , montrer par r´currence que,pour tout entier e 1 1 1 1 1 n strictement positif, on a: In = 1 − (1 + + + .... + ) n

tarif « jeune », d’un billet plein tarif de 72 € ? c) Quel serait le montant plein tarif d’un billet de 96 € payé en tarif « jeune » ? Exercice 3 :(/2,5) Répondre sur sa copie par vrai ou faux a) 0,5 est un nombre rationnel b) Tout nombre entier est un nombre décimal c) est un nombre décimal d) Tout nombre rationnel est un nombre décimal e) ∏ est un nombre rationnel Exercice 4 :(/2,5) QCM : Écrire sur sa copie la bonne réponse (A, B ou C) |

pas indépendants. 5. Il faut calculer p N3 (R3 ) = p (R1 ∩ N3 ) = p (N3 ) 16 75 2 5 = 16 5 8 × = . 75 2 15 E XERCICE 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité n 5 points Sn = p 3 . On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le plus p=1 grand commun diviseur de Sn et Sn+1 . 1. Démonstration par récurrence : 1(1 + 1) 2 = 1. 2 n(n + 1) 2 . – Hérédité : supposons qu’au rang n, Sn = 2 2 n(n + 1) n2 Donc Sn+1 = Sn + (n + 1)3 = + (n + 1) = + (n + 1)3

définition : u p+2 = u p+1 − u p = 2 2 2 2 2 4 2 En utilisant la relation (*), on obtient : 1 3 1 u p+2 = × 2 u p+1 − 3 + = u p+1 . 4 2 2 La relation est vraie au rang p + 1. c. 2. a. b. c. 1 On a donc démontré par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, un+1 = un + 3. 2 Cf. figure ci dessous La suite semble être croissante, convergente vers l’ordonnée du point commun aux deux droites c’est-à-dire 6. 1 1 1 1 v n+1 = un+1 − 6 = un + 3 − 6 = un − 3 = (un − 6) = v n . 2 2 2 2 1 Cette égalité

variables. |Type |Valeur | |Integer |-58 / 0 / 328 (Entier) | |Single |-58.6 / 13.4 (Réel) | |String

Le nombre zéro est un objet mathématique permettant d’exprimer une absence comme une quantité (nulle) : c'est le nombre d'éléments de l’ensemble vide. Il est conçu comme le plus petit des entiers naturels. Ses propriétés arithmétiques particulières, en particulier l’impossibilité de la division par zéro, impliquent parfois de traiter son cas à part. Il sépare les nombres réels en positifs et négatifs, tient lieu d’origine pour repérer des points sur la droite réelle. Plus généralement, zéro désigne

cinquième 3 (1 + 2 = 3), le sixième 5 (2 + 3 = 5), et ainsi de suite. Le début de la suite du célèbre mathématicien Fibonacci est donc : 0, 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21 ... Appelons (un) la suite de Fibonacci. On a donc u0 = 0 ; u1 = 1 et pour tout n entier naturel, on a alors un+2 = un+1 + un. Chaque terme de cette suite, à partir du rang 2, est donc la somme des deux termes précédents. II. La suite de Fibonacci n'est ni arithmétique, ni géométrique. En effet, u1 − u0 = 1 − 0 = 1 et u2

4 : 1. a. u1 = 5 points 3× 1 3 × u0 3 2 = = 1 1 + 2u0 1 + 2 2 4 et u2 = 3 3× 4 3 × u1 9 = . = 3 1 + 2u1 1 + 2 4 10 b. – Pour tout entier naturel n, notons P n la proposition : 0 < un . – Initialisation : Si n = 0 1 Alors u0 = > 0, donc P 0 est vraie. 2 – Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel k tel que P k soit vraie (cà d 0 < uk ). Montrons que P k+1 est vraie aussi( cà d 0 < uk+1 ). Par hypothèse de récurrence 0 < uk donc 0 < 3uk et 0 < 1 + 2uk

− − −→ arg(z − i) = →; BM = − + 2kπ (k ∈ ) ⇐⇒ M ∈ ]BD) u 2 Z Exercice no 3 7 points Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par f n la fonction définie sur f n (x) = x n e−x . On note C n sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; ı ; ) du plan. R par : PARTIE A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe C k où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d’abscisse 1 et la courbe C 3 · 4 La droite Tk coupe l’axe des abscisses

candidats - Soit f la fonction définie sur [0 ; 2] par 1. Etudier les variations de f sur [0 ; 2]. Démontrer que si x [1 ; 2], alors f (x) [1 ; 2]. 2. Soient () et () les suites définies sur ℕ par : = 1 et pour tout entier naturel n, = 2 et pour tout entier naturel n, a) Tracer la courbe représentative de la fonction f sur [0 ; 2], dans le plan muni d’un repère orthonormal (unités : 4cm) b) Construire sur l’axe des abscisses les trios premiers termes de chacune des suites ()