Équation polynomiale

. . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fondements mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Cas d’une équation différentielle d’ordre 2 . . . . . . . 3.2.4 Stabilité en un point singulier . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Rappel sur la résolution d’un système différentiel linéaire 3.2.6 Nature des points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Segments

trigonom´e e triques. MPSI ´ Arguments d’un nombre complexe non nul. Ecriture d’un nombre complexe z = 0 sous la forme ρ eiθ o` ρ > 0 et u θ ∈ R (forme trigonom´trique). e Racines n-i`mes de l’unit´. R´solution de l’´quation z n = a. e e e e ´ c) Equations du second degr´ e R´solution des ´quations du second degr´ ` coefficients e e e a complexes ; discriminant. Relations entre coefficients et racines. d) Exponentielle complexe D´finition de l’exponentielle d’un nombre complexe : e ez = ex eiy Propri´t´s

(x, y) ∈ ∂Ω et t ∈ [0, T ] (1) Cette étude se déroule en 3 parties qui comprennent l’étude du problème stationnaire, l’étude du problème instationnaire et enfin l’étude du problème global. 1 Partie I : Mise en équation et étude théorique du problème 1.1 Ecriture des équations On considère l’équation de la chaleur en 2D (1) où Ω =] − 1, 1]×] − 1, 1]. Soit ω0 la solution stationnaire du problème (1), c’est à dire   −a∆u = f dans Ω  u=g sur ∂Ω ∆u = ∂2u ∂2u + ∂x2 ∂y 2 (2) Soit v la solution

permettant la détermination du signal de commande optimal à appliquer au système automatisé (ou à automatiser) compte tenu des performances attendues. Pour cela, il est nécessaire de connaitre son comportement qui sera traduit par des relations ou équations (modèle mathématique). On se limite, ici, à l'étude des systèmes monovariables, linéaires, continus et invariants. 1 – Définitions et propriété des S.L.C.I. : 1.1 – Système continu : Un système est dit continu (par opposition à un système

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 3 3 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 11 11 2 Racines carrées, équation du second degré 2.1 Racines carrées d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Théorème fondamental de l’algèbre . . .

entre et (c’est-à] si ] si [ ] tel que dire dans [ ou dans [ ), il existe . ] ] et dérivable sur 3. Soit une fonction [ , avec . On suppose que est continue sur [ ] [. Alors il existe ] [ tel que Exercice (10 points) On considère les fonctions (polynômiales). ∑ Pour tout entier . On définit aussi les fonctions pour tout soit (où désigne l’image de par la fonction exponentielle). 1. (a) Montrer que la fonction par , quel que a une limite en zéro que l’on déterminera. (b) Montrer que est dérivable

2? 1+? ? ?+1 ?+1 0 0 D’où lim?→∞ ??? − ?? = 0 5) lim?→∞ ?? = ?⁄4 Exercice 4 : 1 c’est une équation de Bernoulli . On pose z = y On obtient l’équation (F) : z ′ − z = −x². La solution homogène de l’équation (F), est Aex , A ∈ ℝ. x² + 2x + 2 est une solution particuliére. On trouve une solution par les méthodes du cours. Mais en peut remarquer qu’une solution particuliére est une fonction polynomiale de degré 2. D’où z = x² + 2x + 2 + Aex , A ∈ ℝ. De plus On a : y(0) = 1 3 ⇔ z(0) = 3 ⇔ 2 + A

d’Algèbre Linéaire 1.1 Disques de Gershgorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Théorème de Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation Polynomiale 2.1 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . 2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . 2.3 Forme de Newton . . . . . . . . . . 2.4 Polynômes orthogonaux . . . . . . 2.4.1 Polynômes de Legendre . . 2.4.2 Polynômes de Tchebychev . 2.5 Approximation par

point xe. . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Le théorème du point xe. . . . . . . . 3.5.2 Point xes attractifs et répulsifs. . . . Encore à propos de la méthode de Newton. . Le cas des systèmes. . . . . . . . . . . . . . . 4 Approximation polynômiale. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Méthode d'interpolation de Lagrange. Méthode des diérences divisées. . . . Formule d'erreur. . . . . . . . . . . . . Interpolation de Tchebychev. . . . . . Interpolation par intervalles. . . . . . . 1 . .

(2) Les intégraphes A coté des règles à calculer, il y a eu des instruments construits pour la résolution des intégrations et des équations différentielles d’un type particulier comme les équations linéaires à coefficient constant. Ces instruments sont appelés intégraphes. Un intégraphe peut être décrit comme un outils pouvant résoudre graphiquement une équation différentielle du type f(x,y,dx/dy)=0. Il y a plusieurs intégraphes dont ceux de Abdank Abakanowicz qui pendant très longtemps était