Équation polynomiale

Première STI2D – Chapitre 1 : Le second degré Chapitre 1 – Le Second Degré A) Résolution de l'équation du second degré 1) Définitions On appelle polynôme de second degré l’expression a x² + b x + c (avec a non nul). On appelle équation du second degré une équation de la forme a x² + b x + c = 0, où a, b et c sont trois réels donnés, avec a différent de 0. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x telles qui rendent cette égalité vraie. Ces nombres sont appelés "solutions de

(Ligne 1) × −i (1 + i) × (Ligne 1) − (Ligne 2) 1 7−i × (Ligne 2) 1 2 − 3i 2 − i 1+i −2 3−i 1 2 − 3i 2 − i 0 7−i 2i 1 2 − 3i 0 1 2−i + 7i) 1 25 (−1 1 On en déduit qu’il existe une solution unique : Z1 = 25 (31 − 42i), Z2 = Si on conjugue les équations du système (S), on trouve : (1 − i)Z1 − 2Z2 =3+i −iZ1 + (3 − 2i)Z2 = 1 − 2i. 1 25 (−1 + 7i). Toute solution pour (U1 , U2 ) est donc la conjuguée d’une solution pour (Z1 , Z2 ) et vice versa. L’unique 1 1 solution est donc U1 = 25 (31 + 42i)

Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ C [X]. On pose M = sup |P (z)| |z|=1 Exercice 2 [ 02674 ] [correction] Trouver

(développée, résolution de problème. factorisée) d’une expression en vue de la résolution du problème donné. ƒ Développer, factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles simples. Équations Résolution graphique et ƒ Mettre un problème en équation. algébrique d’équations. ƒ Encadrer une racine d’une équation grâce à un algorithme de dichotomie. Inéquations Résolution graphique algébrique d’inéquations. et ƒ Modéliser un problème par une inéquation. ƒ Résoudre

coefficient. On sait que le frottement statique est donné par la formule théorique : fsmax=μs∙N À l’aide de la deuxième loi de Newton, on peut calculer la somme des forces en y à l’aide de l’équation : Fy=N-mgcosθ=may=0 N=mgcosθ De cette équation, on peut trouver la valeur de la normale N, qui est égale au poids en y de la masse choisie, soit sin. Il n’y a pas d’accélération en y. En ce qui a trait à la somme des forces en x, il faut se rappeler que l’on souhaite trouver le coefficient

de capitaux et échéance moyenne 4 Équations polynomiales 4.1 Résolution des équations du premier degré . . . . . . . . . 4.2 La propriété du produit dans les nombres réels . . . . . . . 4.3 Résolution des équations du deuxième degré . . . . . . . . 4.3.1 Deux méthodes de résolution et la formule de Viète 4.3.2 Les équations du deuxième degré camouflées . . . . 4.4 Résolution des équations de degré supérieur à 2 . . . . . . 4.5 Systèmes d’équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . 5 Factorisation

. . . . . . . . 2.2 Relations de comparaison . . . . . . 2.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Développements limités . . . . . . . 2.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Équations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

avec Sage 2.1 Simplification d’expressions symboliques . . . . . . . . . . 2.1.1 Expressions symboliques et fonctions symboliques 2.1.2 Expressions complexes et simplification . . . . . . 2.1.3 Hypothèses sur une variable symbolique . . . . . . 2.2 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3

D’ÉQUATIONS OU D’INÉQUATIONS – SYSTÈMES A. DÉFINITIONS B. RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE D’UNE ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE C. RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE D’UNE INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE D. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES 1. Par substitution 2. Par combinaisons linéaires (par addition) 3. Graphiquement, si les équations n’ont que deux inconnues 4. Méthode du pivot E. LA MISE EN ÉQUATION – EXEMPLE 1. Définition précise des inconnues 2. Traduction des données sous forme

impaires : On note usuellement Exercice 18. strictement positif On n'oubliera pas de s'intéresser à leur ensemble de dénition ! Exercice 19. Exercice 13. Calculer les nombres suivants 1. en fonction de : Indication : Résoudre les équations suivantes : 2. en fonction de et : Réponse : voir page 11 voir page 12 Simplier 3. en fonction de et : Exercice 20. Indication : Réponse : voir page 11 voir page 12 Calculer et . Réponse : voir page 12 Soit