Espace vectoriel topologique

variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'analyse réelle ou d'analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions. La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse

où il faut impérativement recourir à une récurrence transfinie. Après ces longs préliminaires, indispensables aux lecteurs de l’époque comme sans doute à la plupart des lecteurs d’aujourd’hui, René Baire se lance dans les développements topologiques auxquels son nom est désormais associé. Il présente (à la page 79 d’un mémoire de 127 pages) un Lemme fondamental, que je ne résiste pas au plaisir de reproduire à l’identique, avec sa démonstration. Rapellons avant cela qu’un sous-ensemble

PROPRIETES UTILISEES Notions de topologie g´n´rale e e Celles que j’utiliserai sont les suivantes. Ouverts, ferm´s. L’espace C, corps des nombres complexes(2) , est muni de sa topologie d’espace e vectoriel norm´ par |·| (« module » des nombres complexes ou norme(3) euclidienne). e C’est un espace complet, ce qui veut dire que toutes les suites de Cauchy y sont convergentes. Je noterai D(z0 , r) = {z ∈ C | |z − z0 | < r} le disque ouvert de rayon r centr´ en z0 . e Les ouverts sont des r´unions

Jean-Pierre FOUQUE Docteur ès Sciences Chargé de Recherche au Centre National de la Recherche Scientifique Maître de Conférences à l’École Polytechnique 1. 1.1 1.2 1.3 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3. 3.1 3.2 3.3 4. 4.1 4.2 4.3 5. 5.1 5.2 5.3 5.4 Espaces de probabilités ......................................................................... Définitions .................................................................................................... Calcul combinatoire des probabilités .......

_________________________________________________________ 2 Une langue, quelques théories linguistiques et un domaine conceptuel A. Intervalles de temps et valeurs aspecto-temporelles......................................... 37 B. Temps, espace et cognition chez Gosselin .......................................................... 41 3. 3. LA GRAMMAIRE COGNITIVE AMÉRICAINE.................................. 42 A. La théorie de la Métaphore selon G. Lakoff...............................

variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'analyse réelle ou d'analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions. La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse

propos 2 Présentation II ChemFig pour l’impatient 1 Syntaxe 2 Les di érents types de liaisons 3 Les di érents types de formules 3.1 Formule développée . . . . . . 3.2 Formule semi-développée . . . 3.3 Représentation de CRAM . . . 3.4 Formule topologique . . . . . 3.5 Formule de Lewis . . . . . . . 4 Molécules rami ées 5 Cycles 6 Ions 7 Équations chimiques 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 10 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Universit´ de Montr´al e e Mai 2004 Table des mati`res e 1 INTRODUCTION 1.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 L’ESPACE EUCLIDIEN 2.1 Propri´t´s alg´briques . ee e 2.2 Propri´t´s g´om´triques ee e e 2.3 Propri´t´s topologiques ee 2.4 Exercices . . . . . . . . 3 FONCTIONS 3.1 D´finition e 3.2 Propri´t´s ee 3.3 Exercices 3 4 5 5 8 12 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

spectral: Définition norme vectorielle : x a x , R n → R+ vérifiant : - x ≥ 0 et x = 0 ⇔ x = 0 α .x = α . x x+ y ≤ x + y = ∑ xi i Exemple de norme vectorielle : Norme 1 : Norme 2 : Norme ∞ : X X X 1 2 = ∑x i i 2 i = X, X ∞ = Sup xi Proposition : En dimension finie, toutes ces normes sont équivalentes ; en pratique, on choisit celle qui nous arrange. Définition norme matricielle : C'est une norme dans l'espace vectorielle Mn(R), avec en plus A×

Depuis, cette production graphique s'est largement informatisée, en recourant aux deux types de traitements infographiques que sont l'imagerie numérique « raster » (en français : image matricielle, comme les photos numériques) et la représentation vectorielle adaptée au dessin au trait. Au stade de la prospection et de la détection des sites, les images matricielles (les photos aériennes par exemple) peuvent ainsi être traitées par décalage ou étalement des valeurs des pixels, afin d'optimiser les contrastes