Espace vectoriel topologique

Exo7 Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base Exercice 1 1. Montrer que les vecteurs v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 1) et v3 = (1, 1, 0) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur w = (1, 1, 1) dans cette base (v1 , v2 , v3 ). 2. Montrer que les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) et v3 = (1, 0, −1) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) et w = (1, 2, −3) dans cette base (v1 , v2 , v3 ). 3.

Famille de vecteurs Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs Famille génératrice Famille libre, famille liée Base d'un espace vectoriel Composantes dans une base Soient E un K -espace vectoriel et F=(e⃗ i)i∈I une famille finie de vecteurs de E. Quitte à réindexer celle-ci, on suppose que les éléments de cette famille sont indexés sur l'ensemble I={1,…,n}. On considère donc une famille F=(e⃗ i)1≤i≤n de vecteurs de E qu'on peut encore écrire F=(e⃗ 1,…,e⃗ n). Dans le cas

des initiatives qu’il a été amené à prendre. *** QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS Notations et objectifs : Dans tout le texte E désigne un R-espace vectoriel de dimension finie n 1. On note id l’endomorphisme identité de E, Mn (R) le R-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, c’est-à-dire E = E1 ⊕ E2 , on appelle projecteur sur E1 parallèlement à E2 l’endomorphisme p de E qui, à un vecteur x de E se décomposant

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées

Table des matières 1 2 3 Espaces affines 1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Proprièté du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sous-espace affine engendré par un ensemble de points 1.2.3 Intersection de deux sous-espaces affines . . . . . . . 1.2.4 Parallélisme

écrire : f(v) = x1 * f( e1 ) + x2* f( e2 ); Les données du texte donnent f( e1 ) =[pic] ; f( e2 ) = [pic] ; Avec ces données, on peut écrire : f(v) = x1 * [pic] + x2 * [pic] ; = [pic] Quel est le sous espace Imf ? Les éléments de Imf sont des vecteurs à 3 composantes; ce sont des éléments de R3. Par exemple, par définition de Imf, f(e1 ) est un élément de Imf. De même par définition de Imf, f(e2) est un élément de Imf. Les données du texte donnent

DP - SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk

f(-x)=-f(x). Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation : l’ensemble

¸i¡1x1 (¡a0 ¡ a1¸ ¡ : : : ¡ an¡1¸n¡1)x1 = ¸nx1 Donc x1 ne peut être nul (un vecteur propre n’est pas nul), ¸ est racine de P et tout vecteur propre est multiple de X¸ = 0 BBB@ 1 ¸ . . . ¸n¡1 1 CCCA 1 c) On vient de constater que les espaces propres sont tous limités à des droites; la matrice tCP est donc diagonalisable si et seulement si il y a assez de telles droites pour engendrer l’espace entier, c’est à dire si P a n racines distinctes (et donc simples). La réciproque est du cours

Laboratoire J.-A. Dieudonn´e, 06108 Nice Cedex 2 Table des mati` eres Pr´ eface 5 1 Espaces m´ etriques 1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 9 2 Espaces topologiques 2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .