Espace vectoriel topologique

iv Table des matières Introduction 1 Plongement à homotopie près 1.1 Notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . 1.1.3 Espaces de Thom . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Complexes et paires de Poincaré . . . . . . 1.1.5 Application de transfert . . . . . . . . . . . 1.2 Quelques théorèmes d’existence de plongements . . 1.2.1 Plongement en grande codimension . . . . . 1.2

Irrationnalité de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zéros d’une base de solutions d’une équation différentielle ordinaire . Union finie de sous-espaces stricts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indépendance linéaire des caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introduction Plan du cours           Qu’est-ce qu’un SIG ? Données, information et connaissance Relation avec les autres technologies Qu’est-ce que la géographie ? Particularités de l’espace géographique Modèle vectoriel Modèle matriciel Comparaison entre les modèles vectoriels et matriciels La représentation des données en couches La géoréférence Qu’est-ce qu’un SIG ?  C’est un système d’information composé de :       Ordinateurs et périphériques Logiciels spécialisés Données numériques

(les deux derniers étant plus difficiles). Table des matières 1 Quelques Espaces Fonctionnels Classiques 2 1.1 Espaces à Semi-Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Suites Régularisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Espaces de Fonctions de Classe C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ouvertes par l'ajout d'éléments sémantiques. Appliquer ces concepts et techniques pour la résolution de problèmes reliés à la bio-informatique. Contenu : principe de la recherche d'information. Sélection des documents pertinents. Modèles booléen, vectoriel, probabiliste, logique. Réalisation. Évaluation des performances. Analyses linguistiques, syntaxiques et sémantiques. Recherche d'information sur Internet. Moteurs de recherche. Méthodes axées sur l'exploration. Systèmes de recommandation. Web

. 2 Int´gration e 2.1 Int´gration des fonctions positives . . . . . . e 2.2 Int´gration des fonctions quelconques . . . . e 2.3 Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Int´gration par rapport a une mesure image e ` p 2.5 Espaces L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mesures de probabilit´ e 3.1 D´finitions . . . . . . . . . e 3.2 Vecteurs al´atoires . . . . e 3.3 Moyennes et in´galit´s . . e e 3.4 Fonctions caract´ristiques e . . . . . . . .

Programme de Mathématiques Lycée Marceau 4. Équations différentielles A) Équations linéaires du premier ordre 1 - Définition et exemples, définition d’une solution sur un intervalle. 2 Résolution de l’équation homogène : structure (d’espace vectoriel) de l’ensemble des solutions, expression intégrale des solutions, sur un intervalle. Une solution non identiquement nulle ne s’annule pas, présentation usuelle des calculs. Unicité d’une solution satisfaisant à une condition initiale donnée. 3 -

mesur´es forment une tribu. D´ efinition 1 (Tribu ou σ-alg` ebre). Soit Ω un espace. On note P(Ω) l’ensemble des parties de Ω. Un ensemble A ⊂ P(Ω) est appel´e tribu ou σ-alg` ebre, s’il v´erifie les trois propri´et´es suivantes : 1. φ ∈ A (contient l’ensemble vide) 2. A ∈ A =⇒ Ac ∈ A (stable par compl´ementaire) 3. (An )n≥1 ⊂ A =⇒ n≥1 An ∈ A (stable par union d´enombrable). 14 Le couple (Ω, A) est appel´e un espace mesurable. Exercices : 1. Soit A une tribu de Ω. Montrer que Ω ∈ A et que A est

programme 1. Tout sur les s´ries (sauf le calcul des sommes, on pourra cependant utiliser les d´veloppements usuels des fonctions e e classiques). 2. R´visions sur les calculs de d´veloppements limit´s ou asymptotiques. e e e 3. R´visions sur les espaces vectoriels (sauf, matrices et d´terminants). e e 4. Constructions de bases adapt´es a un probl`me. e ` e 9.4.2 Les exercices +∞ k=n+1 Exercice 9.4.83 Soit f une fonction convexe sur [0, +∞[, qui tend vers 0 en +∞, montrer que : (−1)k f (k) ≤

mesurables . . . . . 4.3 Produit de mesures . . . . . . . . . . 4.4 La formule de changement de variable 4.5 Le produit de convolution . . . . . . . Les espaces Lp 5.1 Les d´ finitions . . . . . . . . . . . . e 5.2 Les espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . 5.3 L’espace L2 et les espaces de Hilbert 5.4 Le th´ or` me de Radon-Nikodym . . e e 5.5 La dualit´ des espaces Lp . . . . . . e La transform´ e de Fourier e 6.1 D´ finition et propri´ t´ s el´ mentaires e ee ´e 6.2 Injectivit´ et formule d’inversion . . e 6.3