Euclide

A/ fondements et limites de la géométrie euclidienne. 1) Des figures définies et des postulats Avant de pouvoir déterminer les limites de la géométrie euclidienne, il faut d’abord être en mesure d’en expliquer les fondements. Pour commencer, Euclide dans son premier livre a défini les notions de nombreuses figures mathématiques qui seront les fondations de ces célèbres postulats. En voici les plus importantes : - un point est ce dont la partie est nulle. - Une ligne (ou courbe)

complètement différentes selon le type de géométrie : chez Euclide, la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés ; mais elle est toujours inférieure dans le système de L., et supérieure dans celui de Riemann. c) Qui dit vrai ? Nous sommes bien face à des définitions, i-e à des « vérités » inconciliables, et l'on peut comprendre que l'on en vienne à interpréter cette incompatibilité comme imposant un choix « idéologique » : ou bien c'est Euclide qui dit vrai et les autres théories ne sont que des

par Euclide dans le livre VI de ses Éléments, proposition 2. La propriété démontrée par Euclide n'est pas exactement le théorème comme il est cité de nos jours. Euclide écrit : " Si l'on conduit une droite qui soit parallèle à l'un des côtés d'un triangle, cette droite coupera les deux autres côtés proportionnellement " Il précise ensuite " Si la droite (DE) est parallèle à la droite (BC) alors CE est à EA comme BD est à DA " Nous allons voir comment ce théorème est démontré par Euclide et comment

l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui retrancher 1 : [pic] 4) Historique Au 3ème siècle avant J.C, Euclide, donne l'essentiel des propriétés géométriques du nombre d'or dans son traité mathématique (Eléments). « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand est au plus petit. » (Euclide). Si a et b sont ces deux parties, on doit avoir :    a + b / a = a / b. D'où : a / b = √5 + 1 / 2 = 1,618...    Le

excessifs (si alors la somme de ses diviseurs propres lui est supérieure). Ist diese Summe der Teiler kleiner als die Zahl selbst, heißt die Zahl defizient. Ist die Teilersumme dagegen größer, so spricht man von einer abundanten Zahl. Mais c est Euclide D Alexandrie (vers 320/260) qui dans le IV livre Des Eléments, publia les Premières théories sur les nombres parfaits, a savoir: Lorsque la somme d une suite de nombre doubles les uns les autres est un nombre premier (Un nombre est dit premier si

http://maths-sciences.fr LE NOMBRE D’OR Présentation et calcul du nombre d’or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deux un segment selon en « extrême et moyenne raison » Soit un segment [AB]. Le partage d’Euclide consiste à trouver un point C sur ce segment de telle façon qu’on ait : AB AC = BC AB A x B 1 C On pose AB = x et BC = 1. On a donc AC = x + 1 et x x +1 = 1 x d’où et par conséquent : ou encore : Résolution de l’équation x² – x – 1 = 0 On calcule le discriminant

l’unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs sur la plus grande soit égal à celui de la plus grande sur la plus petite. Le découpage d’un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelée par Euclide découpage en extrême et moyenne raison. Le nombre d’or est maintenant souvent désigné par la lettre PHI en l’honneur de l’architecte Phidias qui l’aurait utilisé pour concevoir le Panthéon. Ce nombre irrationnel est l’unique solution positive de

Dans son ouvrage “les éléments” , Euclide traite de géométrie plane et de géométrie dans l’espace , expose la théorie des proportions , aborde l’arithmétique et pose les bases de la théorie des nombres. Son plus célèbre postulat ( dit postulat d’Euclide ) caractérise la géométrie euclidienne : il énonce que « par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite ». En théorie des nombres , il démontre que l’ensemble des nombres premiers est infini .

Terminale S Spe 2010-2011 Nombres Premiers Théorème de Dirichlet (1805-1859) Nous avons démontré qu'il existe une innité de nombres premiers (preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre

rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est-à-dire lorsque (a+b)/a = a/b. Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi). Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x^2 = x + 1. Il vaut exactement : \frac{1+\sqrt5}2soit approximativement1