F

application linéaire f : R4 → R telle que f (10, 1, 2, 0) = 1, f (1, 2, 1, 0) = 2, f (2, 0, 1, 1) = 3, f (0, 0, 0, 2) = 4 . Calculer f (1, 1, 1, 1). Exercice 3 On note C3 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et on considère les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 0, −3), v3 = (0, 2, 5). 1. Montrer qu'il n'existe pas d'application linéaire f , de R3 dans R3 , telle que f (vj ) = ej (j = 1, 2, 3). 2. Montrer qu'il existe une innité d'applications linéaires f , de R3 dans R3 , telles que f (v1 ) = e1

d’un espace vectoriel E, on d´finit l’application f : E1 × E2 → E par e f (x1 , x2 ) = x1 + x2 . 1. Montrer que f est lin´aire. e 2. D´terminer le noyau et l’image de f . e 3. Appliquer le th´or`me du rang. e e Exercice 4. Soient E un espace vectoriel et ϕ une application lin´aire de E e dans E. On suppose que Ker (ϕ)∩Im (ϕ) = {0}. Montrer que, si x ∈ Ker (ϕ) alors, pour tout n ∈ N : ϕn (x) = 0. Exercice 5. Soient E un espace vectoriel de dimension n et f une application lin´aire de E dans lui-mˆme. Montrer

Quelques sommes de séries Annexe III : localisation temps-fréquence et inégalité de Heisenberg Préambule historique En 1746, D'Alembert étudie l'équation des cordes vibrantes : 1 ∂2 y ∂2 y = c2 ∂t2 ∂x2 dont il donne les solutions sous la forme F(ct+x) + G(ct–x) où F et G sont arbitraires. (c est la vitesse de propagation de l'onde). Vers 1750, Daniel Bernoulli pensait que toute solution peut s'obtenir comme superposition d'une série d'harmoniques, par exemple y(x,t) = ∑ bn sin n=1 ∞ nct nx cos dans

Calculer la dérivée de fonctions. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Extremum d’une fonction. Exploiter le sens de variation pour l’obtention d’inégalités. COMMENTAIRES Le nombre dérivé est défini comme limite du taux f (a+h)− f (a) d’accroissement quand h tend vers 0. h On ne donne pas de définition formelle de la limite. L’utilisation des outils logiciels facilite l’introduction du nombre dérivé. On évite tout excès de technicité dans les calculs de dérivation

O ı I x Définition 2: Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et Cf sa courbe représentative → → dans un repère orthogonal (O, − , − ). ı  b Le réel, noté a b abscisses et les droites d’équations x = a et x = b. a f (x)dx, est l’aire, en unités d’aire, du domaine D délimité par Cf , l’axe des f (x)dx se lit somme de a à b de f (x)dx ou intégrale de a à b de f y a b f (x)dx=aire du domaine D y = f (x) Domaine D O a b x

on considère des fonctions f à valeurs réelles, définies sur une partie D de R. D → R On note par exemple f : x →f (x) , et dit que f est une fonction numérique. Avec ces notations, on dit que D est le domaine de définition de f . Le plus souvent ; D est un intervalle ou une réunion disjointe d’intervalles. 4.3.1 Représentations graphiques On munit le plan d’un repère orthogonal (et même, le plus souvent, orthonormé). L’ensemble (Γ) des points M de coordonnées (x, f (x)) est appelé courbe représentative

T HÉORIE DE LA MESURE ET DE L’ INTÉGRATION . T HIERRY G ALLAY Transcrit par Tancrède L EPOINT 2009 U NIVERSITÉ J OSEPH F OURIER , G RENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction 1 Théorie générale de la mesure 1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . 1.2 Définition et exemples de mesures 1.3 Exemple : l’ensemble de Cantor . . 1.4 Complétion des mesures . . . . . .

; pour tous f, g ∈ E X et λ ∈ K, les fonctions f + g et λ · f sont définies par : ∀x ∈ X, (f + g)(x) = f (x) + g(x) et (λ · f )(x) = λ · f (x) . Alors E X , +, · est un K-espace vectoriel. Ici, 0E X est la fonction nulle x −→ 0E de X dans E. 2 c Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI Démonstration Montrons seulement quelques-uns des axiomes de la définition. • Montrons que + est associative. Soient f, g, h ∈ E X . Pour tout x ∈ X : (f + g) + h (x) = (f + g)(x) + h(x)

Mathématique : Théorie. Algèbre. Chapitre 7 : Calcule de limite. Une fonction réelle f est continue en x=a si lim f(x) = f(x). Une fonction réelle f est discontinue en x=a si elle n'est pas continue en x=a Le domaine de continuité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels elle est continue. On le note dom f . Chapitre 8 : Les asymptotes. Une asymptote à une branche infinie de courbe est une droite telle que la distance d'un point de

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Enoncés Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02776 ] [correction] Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels normés réels, f une application de E1 dans E2 telle que pour tout compact K de E2 , f −1 (K) soit un compact de E1 . Montrer, si F est un fermé de E1 , que f (F ) est un fermé de E2 . 1 Continuité et topologie Exercice 1 [ 01123 ] [correction] Justifier que U = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 2 [ 01124 ] [correction] Montrer que