F

de F(R, R) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ? Structure d’espace vectoriel Exercice 1 [ 01680 ] [correction] Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartésien E × E de l’addition usuelle : (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) et de la multiplication externe par les complexes définie par : (a + i.b).(x, y) = (a.x − b.y, a.y + b.x). Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel. Celui-ci est appelé complexifié de E. a) {f : R → R | f est monotone} c) {f : R

Exemple 2.12. Trouver la transformée de Laplace de f (t) = t sin ωt par le procédé de la transformée des dérivées successives. On a : f (t) = t sin ωt ⇒ f (0) = 0 f ′(t) = sin ωt + ωt cos ωt⇒ f ′(0) = 0 f ′′(t) = −ω2t sin ωt + 2ω cos ωt En utilisant la formule L( f ′′(t))(p) = p2L( f (t))(p)− p f (0)− f ′(0), on arrive à L[−ω2t sin ωt](p) = p2L[t sin ωt](p)− p.0− 0, or : L[−ω2t sin ωt](p) = −ω2L[t sin ωt](p)+ 2ωL[cos ωt](p)

Df d’une fonction f est l’ensemble des éléments ayant une image par f. D f = { x ∈ /f (x) existe }. Remarque : Df est un intervalle ou une réunion d’intervalles. 2. Parité d’une fonction Soit une fonction f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à zéro, c’est-à-dire que pour tout x de D, –x appartient à D. Parité de f Paire Impaire Définition f (– x) = f (x) f (– x) = – f (x) Élément de symétrie de la courbe f axe des ordonnées origine du repère + Conséquence : si f est paire ou impaire

0000000 0000 )7 $ 5 - " ? $ # #$# 0 1 D# $ " !$B 0 # - " A $B # 2 . $ ! 2 , ! # @ # " " A " " @ ! #$" # $ ! ! C #A " !$ # #A " # # " $ # $# "? ? $! A / # "$" / " " " " # # , # - " ? / " $ 0 $ ! # " # $" ? " $F $# # " ? 0 $F ! # #A ? / $ # # !$B / - " ? " #$ " !$B " $. $ $, #$? 0 $" " " @ " ?# A " - B # $" # E ! " , ? " " D" # " # $. " # , !! " ! # " $ " , $" $D" " -$, #$? # $" H0 " / $ ! , ? $ - " ? " ! " $" " ?# A , " $# A$ $I " # " $

Jacques BERT Abréviations utilisées © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. abrév. acoust. adj. adj. nc. adj. no. adv. aéro. agric. amph. anat. anthropo. arthr. astro. bio. bot. chim. conj. écolo. électr. élém. ent. env. ex. f. géog. géol. ich. info. instr. m. math. abréviation acoustique physique et acoustique médicale adjectif adjectif numéral cardinal adjectif numéral ordinal adverbe aéronautique et espace agriculture amphibiens anatomie anthropologie arthropode astronomie

1 [ Indication ] [ Correction ] Soient E et F deux ensembles. Quelle relation y-a-t-il : 1. Entre P(E ∪ F ) et P(E) ∪ P(F ) ? 2. Entre P(E ∩ F ) et P(E) ∩ P(F ) ? 3. Entre P(E × F ) et P(E) × P(F ) ? Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble non vide. Soit F une partie non vide de P(E).   (a) ∀ X, Y ∈ F, X ∩ Y ∈ F On dit que F est un filtre si : (b) ∀ X ∈ F, ∀ Y ⊃ X, Y ∈ F  (c) ∅ ∈ /F 1. Que pourrait-on dire d’une famille non vide F de P(E) ne v´erifiant que (a) et (b) ? 2. P(E)

Français Abeille (f) Abîme (m) Abord (m) abréviation(f) absolu.e Absolument abstrait.e Académie (f) Accélerer Accent (m) Accepter Accident (m) Accompagner Arabe ‫ﻧﺤﻠﺔ‬ ‫هﺎوﻳﺔ‬ ‫أوّﻻ‬ ‫اﺧﺘﺼﺎر‬ ‫ﻣُﻄﻠَﻖ‬ ‫ﺡﺘْﻤًﺎ‬ َ (‫ﺠﺮﱠد)ة‬ َ ‫ُﻣ‬ ‫أآﺎدﻳﻤﻴﺔ‬ ‫ﻋﺠﱠﻞ‬ َ ،‫ﺳﺮَع‬ ْ ‫َأ‬ ‫َﻧ ْﺒﺮَة‬ َ‫ﻞ‬ َ ‫َﻗ ِﺒ‬ ‫ﺡﺎدِث‬ ‫راﻓَﻖ‬ Accord (m) Accorder Acheter Achever Acquérir acteur.actrice (m/f) actif;ive Action (f) Activité (f) actuel.elle Actuellement Adapter (a) Addition (f) Adieu ‫ِاﺕﱢﻔﺎق‬ َ‫ﺢ‬ َ ‫َﻣ َﻨ‬ ‫ﺷﺘَﺮى‬ ْ‫ا‬

compréhension : S = {3n , n ∈ Z} Notons qu’aucun nombre pair appartient à S. - La collection { , 1, } n’est pas un ensemble. 1.2 Inclusion Soient E et F deux ensemles. On dira que E est inclus dans F si tout élément de E est élément de F . On dit encore que E est un sous-ensemble de F ou E est une partie de F . On écrit dans ce cas E ⊂ F ou F ⊃ E. Exemples - L’ensemble des poulets est contenu dans celui des oiseaux. - L’ensemble cosx { ; x ∈ R, n ∈ N} 2+n est contenu dans ] − 1, 1[. - {∗} ⊂ {∗

44 1 – Introduction 1.3 – Notion de fonction Définition 1 Une fonction est un procédé qui permet d’associer à un nombre x, un unique autre nombre appelé image. Si on appelle f cette fonction, l’image de x par f sera notée x → f (x) ou f (x). Exemple : x → x2 est une fonction f et f (x) = x2 est l’image de x par f . Contre-exemple : la correspondance qui a tout nombre positif fait correspondre les nombres dont il est le carré n’est pas une fonction (il n’y a pas unicité de l’image). Par exemple

se rapproche de 0. y Ex : en observant la courbe représentative de cette fonction f, on peut conjecturer (supposer) que la limite de la fonction f quand x tend vers 0 est le nombre 1. 2 (x) = 3x + 2x + 1 . . ... 1 2 On écrit lim (x) = 1 ou lim 3x + 2x + 1 = 1 x→0 x→0 0 ► notion de taux d'accroissement d'une fonction : Observons la courbe représentative de la fonction précédente f. x 1 6 Les valeurs de f(x) passent de 2 à 6. L'accroissement est 6 – 2 = 4 - le taux d'accroissement de la