F

´l´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . e e ee 2.3 Image et noyau d’une application lin´aire . . . . . e 2.4 Cas de la dimension finie : le th´or`me du rang . e e 2.4.1 Le th´or`me du rang et ses applications . . e e 2.4.2 Le th´or`me du rang si dim(E) = dim(F ) e e 2.5 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Repr´sentation matricielle e 20 3.1 Caract´risation d’une application lin´aire par l’image d’une base 20 e e 3.2 Matrices et applications lin´aires . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Académie en ligne Cours A Primitives d’une fonction continue sur un intervalle Exemples de fonctions primitives. Définition Exemple Énoncé Soit F la fonction définie sur Déterminer F′ ( x ) . Y a-t-il d’autres fonctions dont la dérivée soit aussi égale à F′ ( x ) ? Si oui, donner deux exemples. par F ( x ) = – x 4 + x 3 – 2x 2 + 3 . Solution F′ ( x ) = – 4x 3 + 3x 2 – 4x . On sait qu’une constante a une dérivée nulle. On peut donc remplacer la constante 3 par un autre nombre sans changer la

ÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. f (x) − f (a) admet une limite réelle quand x tend vers a en restant dans I, on dit que la Lorsque le rapport x−a fonction f est dérivable en a et cette limite réelle, notée f ′ (a), est appelée le nombre dérivé de f en a. On note alors : f (x) − f (a) f ′ (a) = lim x→a x−a 2 TANGENTE À UNE COURBE y Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative

l’utilisation des fonctions de référence 2 2 1 Comparer sans calculatrice : 1 5 On considère la fonction f : x   1 définie sur *. x Le but de l’exercice est d’étudier le sens de variation de la fonction f sur chacun des intervalles I1  0 ;   et I 2   ; 0 .    4 et    5   2 1  3 et  2 2  3 1°) Sens de variation de f sur I1 Soit u et v deux réels quelconques de l’intervalle I1 tels que u  v . Recopier et justifier chaque étape

jdhdhdhdjdud xjwhdydj dkdudjdj widhdhvduf jfhdhduhdh wjhdhdij hfjdjdjj jhxjwifbjwjw wjwvuw d whwjwv djwvd w dvd f w d d d d d d w d d d d. d d. w d d w. w. w w w w w w w w w w w w w w. w ww d d w. d w w w w w w x. x x d d d d d d d d d d d d d. d w w w w w w w w w w. w w w. w w x w. w. f ff f f f f f f f f f. f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f. f. f f f f f f f f fait un petit ,de .de 4 mots 1 image met à la recherche de traces. C'est un bon moment pour vous, vous êtes plutôt

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Définitions et généralités Déf. d’une primitive Soit f une fonction continue sur I ⊂ R. On appelle primitive de f , une fonction F dérivable tel que F (x) = f (x), ∀x ∈ I. Exemple f (x) = 2(x + 1), F (x) = (x + 1)2 I=R G(x) = x2 + 2x F et G sont deux primitves de f. Une primitive de f n’est donc pas unique. 2.1.2 Primitives d’une fonction Soit f une fonction continue sur I ⊂ R et F une primitive de f . Alors toutes les primitives de f sont de la forme F (x) + C où C = C(x) est une fonction constante

allemand français italien A-B Anreiz (m) Anstieg (m) Aufpreis (m) Ausfuhr (f) Außenhandelsbilanz (m) Außenwirtschaftsbilanz (m) Automobilsektor (m) attrait (m), incitation (f) augmentation, hausse (f) supplément (m) exportation (f) balance du commerce extérieur (f) balance commerciale (f) incentivo (m) aumento (m) premio (m) exportazione (f) conti con l'estero (pl) bilancia commerciale (f) le marché, secteur de vendite di auto (pl) l'automobile (m) Bruttoinlandsprodukt

scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈ E, < x, y >= 0 ∀x ∈ F }. 1.a. Montrer que Im(f ) = (Ker(f ))⊥ . 1.b. En d´eduire que E = Im(f ) ⊕ Ker(f ). 1.c. Montrer que Ker(f ) = Ker(f ◦ f ). 2.a. Montrer que < f (x), x >= 0 pour tout x ∈ E. 2.b. En d´eduire que f admet au plus 0 comme valeur