Factorisation des polynômes

mathématiques permettant de traiter de problèmes du second degré. Extrait du programme (Bulletin officiel spécial n° 9 du 30 septembre 2010) Contenus Capacités attendues Forme canonique d’une fonction polynôme de • Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate degré deux. d’une fonction polynôme de degré deux en vue Équation du second degré, discriminant. de la résolution d’un problème : développée, Signe du trinôme. factorisée, canonique. Corrigés des activités 1 Représentation graphique d’un

carrés. Exercice 45 [ 00140 ] [correction] [Idéaux premiers] Un idéal I d’un anneau commutatif (A, +, ×) est dit premier si, et seulement si, ∀x, y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I a) Donner un exemple d’idéal premier dans Z. b) Soit P ∈ K [X] un polynôme irréductible. Montrer que P.K [X] est premier. c) Soient J et K deux idéaux de A. Montrer J ∩ K = I ⇒ (J = I ou K = I) d) Soit (A, +, ×) un anneau commutatif dont tout idéal est premier. Etablir que A est intègre puis que A est un corps. Exercice

de polynˆmes o Soient P,Q ∈ IK[x], alors ∀x ∈ IK (P + Q) (x) = P (x) + Q(x) Remarquons que d◦ (P + Q) ≤ max (d◦ P,d◦ Q), d◦ = degr´. e On a P + Q = Q + P , (P + Q) + R = P + (Q + R), 0 + P = P et P + (−P ) = 0. 2 1.1.1.2 ˆ CHAPITRE 1. POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES Produit de polynˆmes o n X p=0 m X p=0 Soient P,Q ∈ IK[x], (P Q)(x) = P (x)Q(x). Si P (x) = ap xp et Q(x) = bp xp , alors n+m X p X Ă (P Q)(x) = ak bp−k xp Ł p=0 k=0 d’o` d◦ (P Q) = d◦ P + d◦ Q. u On

= 0 si xi ne produit pas k. α et β sont des coefficients de pondération : ils servent à donner plus ou moins d’importance à certains paramètres. Sous une autre formulation, le problème devient : avec Développons maintenant ce polynôme du second degré en xi, nous obtenons : Et nous reconnaissons la forme quadratique suivante : xt * Q*x + 2*pt * x, où x=(xi), Q=(qij) et p=(pi) avec : pour i >= j , i,j=1..n. qij = 0 pour i >= j , i,j=1..n. pi = Si nous notons

= 0 si xi ne produit pas k. α et β sont des coefficients de pondération : ils servent à donner plus ou moins d’importance à certains paramètres. Sous une autre formulation, le problème devient : avec Développons maintenant ce polynôme du second degré en xi, nous obtenons : Et nous reconnaissons la forme quadratique suivante : xt * Q*x + 2*pt * x, où x=(xi), Q=(qij) et p=(pi) avec : pour i >= j , i,j=1..n. qij = 0 pour i >= j , i,j=1..n. pi = Si nous notons

ne produit pas k. α et β sont des coefficients de pondération : ils servent à donner plus ou moins d’importance à certains paramètres. Sous une autre formulation, le problème devient : [pic][pic] avec [pic] Développons maintenant ce polynôme du second degré en xi, nous obtenons : [pic] Et nous reconnaissons la forme quadratique suivante : xt * Q*x + 2*pt * x, où x=(xi), Q=(qij) et p=(pi) avec : [pic] pour i >= j , i,j=1..n. qij = 0 pour i >= j , i,j=1..n. pi = [pic]

donné. 3 - Le calcul matriciel est un ensemble de transformations qui donnent les caractéristiques d’une matrice (calcul de déterminant, valeurs propres, valeurs singulières, vecteurs propres, etc.) ou qui affecte la valeur de ses éléments (factorisation, méthode de triangularisation, conditionnement de matrices10 , etc.). 4 - Les techniques de convergence vers la solution consistent à rechercher et affiner l’intervalle où se situe la solution (recherche et accelération de la convergence, recherche

• Eléments de géométrie dans le plan complexe (affixe d’un point, d’un vecteur, produit scalaire, etc.) • Formules trigonométriques (a cos 2πf t + b sin 2πf t = A cos (2πf t + ϕ), etc.) • Réciproques des fonctions trigonométriques • Factorisation de polynômes de degré peu élevé • Equation de degré deux à coefficients complexes • Décomposition en éléments simples Prolongements possibles • Racines n-ièmes • Applications des transformations usuelles dans le plan complexe (Bode, Nyquist, etc)

cubiques) • Eléments de géométrie dans le plan complexe (affixe d’un point, d’un vecteur, produit scalaire, etc.) • Formules trigonométriques (a cos 2πf t + b sin 2πf t = A cos (2πf t + ϕ), etc.) • Réciproques des fonctions trigonométriques • Factorisation de polynômes de degré peu élevé • Equation de degré deux à coefficients complexes • Décomposition en éléments simples Prolongements possibles • Racines n-ièmes • Applications des transformations usuelles dans le plan complexe (Bode, Nyquist, etc) • Concept

complexes (module, argument, racines carrées, cubiques), Trigonométrie et fonctions trigonométriques, Formules de trigonométrie (ex : transformation de a cos ω t + b sin ω t ), Définition des fonctions réciproques des fonctions trigonométriques, Factorisation de polynômes de degré peu élevé, Equation de degré deux à coefficients complexes, Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples, Vecteurs, produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte et applications. Modalités de mise en œuvre