Factorisation des polynômes

⇔ cos 2x = cos x + π2 π π ⇔ 2x = x + + 2kπ ou 2x = − x + + 2kπ(k ∈ Z) 2 2 π 2kπ π ⇔ x = + 2kπ ou x = − + 2 6 3 L’ensemble des solutions est S= 2.2.4 π π 2kπ + 2kπ ∪ − + 2 6 3 ,k ∈ Z P (cos αx) = 0 Si P (x) est un polynôme, une équation du type P (cos x) se résoud en posant y = cos x. Chaque solution y de l’équation P (y) = 0 telle que |y| ≤ 1 donnera une (des) famille(s) de solutions. 25 2.2. EQUATIONS RÉDUCTIBLES CHAPITRE 2. EQUATIONS Exemple Résoudre

α et β sont multiples de 5 si et seulement si (n − 2) est multiple de 5. a. Calculer 2α − β et en déduire les valeurs possibles de δ. 3. On considère les nombres a et b définis par : a = n 3 + 2n 2 − 3n b = 2n 2 − n − 1. Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par (n − 1). Frédéric Demoulin Page 35 Annales Terminale S Arithmétique 4. b. En déduire le PGCD, ∆, de a et b en fonction de n. c. Application : Déterminer ∆ pour n = 2 001 ;

12 Openmirrors.com Les Mathématiques/Mathematics Factoriel Factorisation Figure géométrique Fonction Fondamental Formule Fractal Fraction Géométrie Géométrie affine Géométrie analytique Géométrique Grandeur (d’un nombre) Graphique (n.) Graphique (adj.) Groupe abélien Hexagone Homologie Homothétie Horizontal Hyperbole Hypoténuse Identité Impair Inclusion Induction Inégalité Infini (n.) Infini (adj.) Factorial Factorisation Geometrical figure Function Fundamental Formula Fractal Fraction Geometry

Miscalculation Space 12 Les Mathématiques/Mathematics Factoriel Factorisation Figure géométrique Fonction Fondamental Formule Fractal Fraction Géométrie Géométrie affine Géométrie analytique Géométrique Grandeur (d’un nombre) Graphique (n.) Graphique (adj.) Groupe abélien Hexagone Homologie Homothétie Horizontal Hyperbole Hypoténuse Identité Impair Inclusion Induction Inégalité Infini (n.) Infini (adj.) Factorial Factorisation Geometrical figure Function Fundamental Formula Fractal Fraction Geometry

successifs sur une représentation graphique obtenue à l’écran de la calculatrice. Application à l’approximation de pourcentages. On étudiera, sur quelques exemples, les varia- On justifiera que la dérivée d’une fonction tions de fonctions polynômes de degré 2 ou 3, monotone sur un intervalle est de signe constant de fonctions homographiques ou de fonctions et on admettra la réciproque. rationnelles très simples. On montrera que, pour un taux x faible, n hausses successives de x% équivalent

Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique 5 C H A P I T R E Second degré 1. Programme officiel Contenus Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. Capacités attendues ◗ Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole

051 tonnes ; ∆P = 10 x 1,14 = 14,641 tonnes Alain Birebent 22/65 année 2011-2012 Licence Economie et gestion – Unité M1 – Leçons 1 à 6 2°) pour n ≤ 5 : P(n) = 100 x 1,1n ; pour n ≥ 6 : P(n) = 161,051 + 14,641(n – 5) ; après réduction et factorisation, il est plus simple de lire P(n) = 10.1,14.(n + 6) 3°) le taux de croissance annuel de l'année n que nous notons τ(n) est égal au rapport 1 P(n) – P(n – 1) . Ainsi, après simplifications, τ(n) = ; c'est une fonction décroissante de n ; n+5 P(n

x) = x 2 − 3 x + 11  000 +  . x x b. La dernière ligne de calcul, obtenue à l’aide d’une calculatrice formelle, donne une forme factorisée de la dérivée de la fonction coût moyen CM . ( x − 40)(2 x 2 + 77 x + 3  080) CM ’ (x) =  . x2 Le polynôme 2 x 2 + 77 x + 3  080 est strictement positif sur [ 10 ; 50 ] ainsi que le dénominateur x2. On en déduit que la fonction dérivée du coût moyen est du signe de x − 40 . 10 40 50 x 2 a. CM (x) = 233 900 Fonction de satisfaction définie

utilise ´galement la factorisation de l’angle moiti´ : e e eix + 1 = e 2 ix e 2 + e− 2 ix ix = 2e 2 cos ix x 2 x 2 eix − 1 = e 2 a Abraham b Leonhard ix e 2 − e− 2 ix ix = 2ie 2 sin ix De Moivre, (26/05/1667), Fran¸ais. Auteur de la formule attribu´e injustement a Stirling c e ` Euler, (15/04/1707-18/09/1783), Suisse. Un des math´maticiens les plus productif. Il a trouv´ un e e nombre incroyable de formules Remarque 26. On a la factorisation de l’angle moiti´

´galement la factorisation de l’angle moiti´ : e e ix ix ix ix eix + 1 = e 2 ix e 2 + e− 2 ix e 2 − e− 2 eix − 1 = e 2 a Abraham ix = 2e 2 cos ix = 2ie 2 sin x 2 x 2 De Moivre, (26/05/1667), Fran¸ais. Auteur de la formule attribu´e injustement a Stirling c e ` Euler, (15/04/1707-18/09/1783), Suisse. Un des math´maticiens les plus productif. Il a trouv´ un e e nombre incroyable de formules b Leonhard Remarque 26. On a la factorisation de l’angle