Factorisation des polynômes

cos a sin c − sin a Exercice 12 : [énoncé] a1 a2 · · · an . .. .. . . . . .. (a1 ) . a2 a1 a−c b−c b−c a−c = (a + b + 2c)(a − b)((a − c)2 − (b − c)2 ) c a−c b−c 0 c b b−c c−b a−c c−b 0 a−b a1 − a2 = (0) .. . a1 − a2 a1 = Par la formule de factorisation cos p − cos q = −2 sin D = −4 sin puis D = −4 sin b−a c−a b−c sin sin 2 2 2 b−a c−a sin 2 2 a1 (a1 − a2 )n−1 via C1 ← C1 − C2 C2 ← C2 − C3 . . . Cn−1 ← Cn−1 − Cn Exercice 13 : [énoncé] Via Ln ← Ln − Ln−1 , Ln−1 ← Ln−1 − Ln−2 , . . . , L3

sur R. FICHE 5 – Fonctions dér ivables 29 Application Soit f n la fonction définie sur R par f n (x) = e−x x n où n ∈ N. Pour tout k ∈ N , montrez que la dérivée k-ième de f n s'écrit : f n(k) (x) = Pk (x) e−x où Pk est une fonction polynôme à expliciter. Si k n, calculez Pk (0). Solution f n est le produit de deux fonctions indéfiniment dérivables sur R. Elle est donc indéfiniment dérivable. Sa dérivée k-ième s'obtient à l'aide de la formule de Leibniz : k f n(k) (x) = k

Narration de recherche P(x) . f(x) est le quotient de deux polynômes : f(x) = Q(x) La droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à #f donc lim f(x) = 0 soit deg P < deg Q. © Nathan 2012 – Transmath Term. S x → ∞ La droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à #f donc lim Q(x) = 0, soit Q(0) = 0. x → 0 Il en résulte que le terme constant de Q est nul : on peut mettre x en facteur. Q(x) = x Q1(x), où Q1 est un polynôme (avec degré de Q1 = (degré de Q) – 1). De plus, f n’est

propos de la dérivée et lors de l’étude du comportement asymptotique de certaines fonctions. Comme déjà dit plus haut pour l’introduction de la dérivée, l’intuition suffira pour établir que lim f(a + h) = f(a) pour les fonctions f « régulières » (polynômes, rationnelles ou avec radicaux) ; on fera observer aux élèves que cela correspond à un tracé de la courbe représentant la fonction sans lever le crayon (le terme de fonction continue sera introduit en terminale : il peut néanmoins déjà être utilisé

= 0  : ∆ = 0 donc l’équation possède une seule solution qui est α = S = {3}. −b −( −12) = = 3. 2a 2× 2 Remarque On peut aussi s’apercevoir que tous les coefficients sont des entiers multiples de 2 2 et regarder l’effet de la factorisation par 2. L’équation devient 2( x − 6 x + 9 ) = 0, 2 en utilisant une identité remarquable on obtient : 2( x − 3) = 0. On trouve ainsi, sans calculer ∆, que 3 est la seule solution de l’équation. ᕣ L’équation est −0, 5x 2 + 3x − 9, 5 = 0,

1 Notation 424 A.2 Unités en dehors du Système International 424 A.3 Constantes physiques fondamentales 425 A.4 Constantes utilisées 426 ANNEXE B • COMPLÉMENTS MATHÉMATIQUES 427 B.1 Polynômes d’Hermite 427 B.2 Polynômes de Laguerre 429 B.3 Fonctions de Legendre associées 431 B.4 Harmoniques sphériques 433 B.5 Fonctions hypergéométriques 436 BIBLIOGRAPHIE 439 INDEX 441 Avant-propos La mécanique

que ker(T n ) est fermé pour tout n ∈ N. (2) Supposons que E est complet et que, pour tout x ∈ E, il existe n ∈ N tel que x ∈ ker(T n ). Montrer que T est nilpotent (c’est-à-dire qu’il existe d ∈ N tel que T d = 0). (II) Soit E = C[X] l’espace des polynômes complexes et notons pour P ∈ E, ∞ ||P|| = n=0 ||P(n) ||∞ (II.3) avec ||P||∞ = sup x∈[0,1] |P(x)| et P(n) la dérivée d’ordre n de P. Vérifier que ||P|| est bien une norme sur E. Soit T : E → E défini par T (P) = P , P ∈ E . Vérifier que

l’étude plus générale du trinôme du second degré. Extrait du programme (Bulletin officiel n° 9 du 30 septembre 2010) : Contenus Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. Capacités attendues • Utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. ▶ QCM Pour bien commencer Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans

e e e Algorithme de Berlekamp-Massey pour la synth`se de e registres ` d´calage lin´aire . . . . . . . . . . . 94 a e e Le paradoxe des anniversaires . . . . . . . . . . . . . . . 97 Attaque de Yuval sur les fonctions de hachage . . . . . . 98 Factorisation des nombres compos´s . . . . . . . . . . . 98 e Nombres premiers robustes . . . . . . . . . . . . . . . . 103 R´solution du logarithme discret . . . . . . . . . . . . . 104 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 108 108 109 110

. . . . . . . . . . . . 90 5.8.1 Instructions de contrˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.8.2 Fonctions et proc´edures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6 Utilisation de MAPLE en math´ematiques 93 6.1 D´eveloppement, factorisation et simplification d’expressions . . . . 93 6.1.1 Rappels math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1.2 Quelques fonctions de manipulation d’expression . . . . . . 94 6.1.3 La fonction convert . . . . . . . . . . . . . . . .